前言：It's hard, but keep going
花了n久的时间，终于可以算是理解了吧~
Min25筛：适用于求解积性函数f(i)的前缀和问题。
对于这个积性函数，需要满足$f(p^{k})$可以快速求出。
关于这个快速求出，就是可以理解为$f(p^{k})$是一个关于p的低阶多项式。
因为多项式可以拆分成多个单项式，所以就比较好求。
具体求解：
我们将函数分解质数和 和合数和，即为：
$sum_{i = 1}^{n}f(i) = sum_{}f(p)[p~is~a~prime] ~+~ sum_{}^{} f(i)[i~is~not~a~prime~or~i = 1]$
这样就拆分为了质数和 和 合数和。
然后我们分开计算两部分即可。
对于第一部分的质数和，我们定义一个函数：
$g(n,j) = sum_{i = 1}^{n}F(i)[i~is~a~prime~or~mini~>~p_{j}^{}]$
F(i)是我们找的一个完全积性函数，满足他在质数处的取值和f(i)一样。
mini表示i的最小质因子，$p_{j}^{}$表示第j个质数。
上面这个式子就是统计了质数的F(i)的和 + 最小质因子大于$p_{j}^{}$的F(i)的和。
考虑从g(n,j-1)到g(n,j)的转移。
$g(n,j) = igl(egin{smallmatrix}
g(n,j-1) & & p_{j}^{}~>~sqrt{n}\
g(n,j-1) - F(p_{j}^{})(~g(frac{n}{p_{j}^{}},j-1) - g(p_{j-1}^{},j-1)) & & p_{j}^{}~<=~sqrt{n}
end{smallmatrix}igr)$
解释：这个转移，首先如果满足$p_{j}^{}~>~sqrt{n}$，那么pj不会产生作为某个数的最小因子产生新的贡献。
然后对于求质数和的情况，大家都是1~n，所以第一个条件可以直接转移。
对于第二个，pj会作为某个数的最小质因子产生新的贡献，所以要减去这个贡献，那么为什么减去而不是加上这个贡献？
因为我们的g函数是求mini > pj，到pj之后，显然之前满足mini <= pj的就不满足了，所以是减去这个贡献。
对于这个贡献的计算，考虑容斥，对于这个质因子的贡献的函数，显然是g(n,j-1)里满足条件的值，然后因为这是积性函数，所以我们把f(pj)提出来。
可以发现这中间多计算了<pj的质数的代价，所以后面要减去这个代价。
可以发现，这里在$p_{j}^{} > sqrt{n}$后，后面的质数肯定都满足这个条件，且这个值都是一样的，因为都是第一种转移了。
所以，我们只需要处理$sqrt{n}$的质数即可，即我们可以线性筛出前$sqrt{n}$个质数，并做$sqrt{n}$此g函数的转移。
复杂度是O($sqrt{n}$)
可以注意到这里的$g(p_{j-1}^{},j-1)$其实就是前j-1个质数的F(i)函数和，所以我们可以在线性筛时同时处理出来。
求解：
定义函数:$S(n,j) = sum_{i = 1}^{n} f(i)[mini > pj]$
依旧分质数和合数来讨论。
因为质数处的取值 和 F(x)一样，所以就是g(n,j) - 多的质数部分的函数值。
这里的函数值是关于整个的g。
这里用$sum_{i = 1}^{j} p_{i}^{}$来代替，实际上并不是质数的和，但是不同题目都不同。
最终得$S(n,j) = g(n,j) - sum_{i = 1}^{j} p_{i}^{} + sum_{k > j}^{} sum_{e = 1}^{p_{k}^{e} <= n} f(p_{k}^{e})[S(frac{n}{p_{k}^{e}}) + |e > 1|]$
前一部分为质数的值，后面就是枚举最大质因子然后枚举次数，然后做积性函数的提取，和前面分析g的时候差不多。
然后|e > 1|表示如果k次数不为1，那么就还要再增加一个 f($p_{k}^{e}$)。
最终答案要加上f(1)，因为1处不会被计算入S。
完结~