高等代数4 线性方程组
一般线性方程组
一般线性方程组是指形式为
的方程组，其中(x_1,x_2,cdots,x_n)表示(n)个未知量，(s)是方程的个数，(a_{ij}(i=1,2,cdots,s,j=1,2,cdots,n))称为方程组系数，(b_j(j=1,2,cdots,s))称为常数项。
方程组的一个解就是指由(n)个数(k_1,k_2,cdots,k_n)组成的有序数组((k_1,k_2,cdots,k_n))，当(x_1,x_2,cdots,x_n)分别用(k_1,k_2,cdots,k_n)代入后，（2）中每个等式都变为恒等式。
方程组(2)的解的全体称为它的解集合。
如果两个方程组有相同的解集合，他们就称为同解的。
一般消元法解一般线性方程组
线性方程组的初等变换：
- 用一非零的数乘某一方程；
- 把一个方程的倍数加到另一个方程；
- 互换两个方程的位置
初等变换把方程组变成同解的方程组。
阶梯形方程组
用初等变换将方程组化为阶梯形矩阵。
不妨设所得到的的方程组为
其中(c_{ij} eq 0,i=1,2,cdots,r)，方程组中的(0=0)可能不出现，去掉也不影响（2）的解。并且（1）与（2）是同解的。
-
在（2）中有方程(0=d_{r+1})，而(d_{r+1} eq 0)，这时方程组无解
-
当(d_{r+1}=0)或（2）没有(0=0)的方程时，方程组有解。
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(r=n)，方程个数等于未知数个数，方程组有唯一解
这时阶梯形方程组为
[egin{cases} c_{11}x_1 +&c_{12}x_2+cdots +&c_{1r}x_r+cdots+&c_{1n}x_n&=d_1 \ &c_{22}x_2+cdots+&c_{2r}x_r+cdots+&c_{2n}x_n&=d_2 \ && cdots cdots \ & &&c_{nn}x_n&=d_n \ end{cases} ]由最后一个方程组可以逐一确定未知数的值，这时方程组有唯一解。
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(r<n)，方程个数小于未知数个数，方程组有无穷多个解
这时方程组为
[egin{cases} c_{11}x_1 +&c_{12}x_2+cdots +&c_{1r}x_r+cdots+&c_{1n}x_n&=d_1 \ &c_{22}x_2+cdots+&c_{2r}x_r+cdots+&c_{2n}x_n&=d_2 \ && cdots cdots \ & &c_{rr}x_r +cdots +&c_{rn}x_n&=d_r \ end{cases} ]其中(c_{ii} eq 0,i=1,2,cdots,r)把它改写为
[egin{cases} c_{11}x_1 +&c_{12}x_2+cdots +&c_{1r}x_r&=d_1-c_{1,r+1}x_{r+1}-cdots-c_{1n}x_n \ &c_{22}x_2+cdots+&c_{2r}x_r&=d_2-c_{2,r+1}x_{r+1}-cdots-c_{2n}x_n \ && cdots cdots \ &&c_{rr}x_r &=d_r-c_{r,r+1}x_{r,r+1}-cdots -c_{rn}x_{n} \ end{cases} ]由此可见，任给(x_{r+1},cdots,x_n)一组值，就唯一确定出(x_1,x_2,cdots,x_r)的值，也就是给吃醋方程组（5）的一个解。
一般地，由（8）我们可以把(x_1,x_2,cdots,x_r)通过(x_{r+1},cdots,x_n)表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而(x_{r+1},cdots,x_n)称为一组自由未知量。
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齐次线性方程组
判断有无非零解
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方程个数
在齐次线性方程组
[egin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+cdots +a_{1n}x_n=0 \ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+cdots +a_{2n}x_n=0 \ cdots cdots \ a_{s1}x_1 +a_{s2}x_2+cdots +a_{sn}x_n=0 \ end{cases} ]中，如果(s<n)（方程个数<未知数个数），那么他必有非零解。
-
系数矩阵的秩
齐次线性方程组
-
的系数矩阵
的行秩(r<n)，那么它有非零解。
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系数矩阵的行列式
齐线性方程组
有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵
的行列式等于零。
系数矩阵的行列式(|A| eq 0)，那么它只有零解。
性质
- 两个解的和还是方程组的解。
- 一个解的倍数还是方程组的解。
解的线性组合还是方程组的解。
基础解系
齐次线性方程组（6）的一组解(eta_1,eta_2,cdots,eta_t)称为（6）的一个基础解系，如果
- （6）的任意一个解都能表示成(eta_1,eta_2,cdots,eta_t)的线性组合；
- (eta_1,eta_2,cdots,eta_t)线性无关
具体找基础解系的方法
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定理
在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于(n-r)，这里(r)表示系数矩阵的秩（(n-r)也就是自由未知量的个数）。
任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系。
设方程组的系数矩阵的秩为(r)，方程组可以改写为
-
如果(r=n)，方程组没有自由未知量，方程组右端为零，方程组只有零解。
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分别用(n-r)组数((1,0,cdots,0),(0,1,cdots,0),cdots,(0,0,cdots,1))来代替自由未知量((x_{r+1},x_{r+2},cdots,x_n))，就得出方程组的(n-r)个解
[egin{cases} eta_1=(c_{11},cdots,c_{1r},1,0,cdots,0) \ eta_2=(c_{21},cdots,c_{2r},0,1,cdots,0) \ cdots cdots \ eta_{n-r}=(c_{n-r,1},cdots,c_{n-r,r},0,0,cdots,1) \ end{cases} ]上式就是一个基础解系，方程的任意一个解都可以由它表示出来。
一般线性方程组
矩阵
称为系数矩阵。
矩阵
称为增广矩阵。
有解的判别
- 线性方程组（1）有解的充分必要条件是它的系数矩阵(A)和增广矩阵(ar A)有相同的秩。
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用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵。
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如果系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，方程组有解；
- 当增广矩阵的秩等于未知数个数时，方程组有唯一解；
- 当增广矩阵的秩小于未知数个数时，方程有无穷多个解。
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当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解。
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解的结构 导出组
- 导出组：把一般线性方程组[egin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_1+cdots +a_{1n}x_1=b_1 \ a_{21}x_1 +a_{22}x_1+cdots +a_{2n}x_1=b_2 \ cdots cdots \ a_{s1}x_1 +a_{s2}x_1+cdots +a_{sn}x_n=b_s \ end{cases} ]的常数项换为(0)，就得到齐次线性方程组，[egin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_1+cdots +a_{1n}x_1=0 \ a_{21}x_1 +a_{22}x_1+cdots +a_{2n}x_1=0 \ cdots cdots \ a_{s1}x_1 +a_{s2}x_1+cdots +a_{sn}x_n=0 \ end{cases} ]所得到的齐次线性方程组（17）称为原一般线性方程组（16）的导出组。
原一般线性方程组和它的导出组的解之间的关系
- 线性方程组（15）的两个解的差是它的导出组（16）的解。
- 线性方程组（15）的一个解与它的导出组（16）的一个解之和还是这个线性方程组的一个解。
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定理
如果(gamma_0)是方程组（15）一个特解，那么方程组（15）的任何一个解(gamma)都可以表成
[gamma=gamma_0+eta ]其中(eta)是导出组（16）的一个解。
因此，对于方程组(15)的任一个特解(gamma_0)，当(eta)取遍它的导出组的全部解时，（17）就给出（15）的全部解。
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如果(gamma_0)是方程组（15）的一个特解，(eta_1,eta_2,cdots,eta_s)是其导出组的一个基础解系，那么（15）的任一个解(gamma)都可以表成
[gamma=gamma_0+k_1eta_1+k_2eta_2+cdots+k_{n-r}eta_{n-r} ] -
推论 在方程组（15）有解的条件下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组（1）只有零解。
克拉默法则—方程个数等于未知数个数
只考虑方程个数与未知数个数相等的情形。
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定理
如果线性方程组
[egin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+cdots +a_{1n}x_n=b_1 \ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+cdots +a_{2n}x_n=b_2 \ cdots cdots \ a_{n1}x_1 +a_{n2}x_2+cdots +a_{nn}x_n=b_n \ end{cases} ]的系数矩阵
[A_{nn}=left ( egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} &a_{n2} & cdots &a_{nn} \ end{matrix} ight ) ]的行列式，即系数行列式 (d=|A| eq 0).
那么线性方程组（19）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为
[x_1=frac{d_1}{d},x_2=frac{d_2}{d},cdots,x_n=frac{d_n}{d} ]其中(d_j)是把矩阵中第(j)列换成方程组的常数项(b_1,b_2,cdots,b_n)所组成的矩阵的行列式，即
[d_j= left | egin{matrix} a_{11} & cdots & a_{1,j-1} &b_1 &a_{1,j+1} &cdots &a_{1n} \ a_{21} & cdots & a_{2,j-1} &b_2 &a_{2,j+1} &cdots &a_{2n} \ vdots & & vdots &vdots &vdots & &vdots\ a_{n1} & cdots & a_{n,j-1} &b_n &a_{n,j+1} &cdots &a_{nn}\ end{matrix} ight |,j=1,2,cdots,n ]
附
行列式的计算
一个(n)阶行列式可以看成由一个(n)级方阵(A)决定的，对于矩阵可以进行初等行变换变为阶梯形方阵，阶梯形方阵的行列式是上三角形的，也就等于对角线元素的乘积。
行列式的性质
- 一个数乘行列式的一行等于用这个数乘这个行列式，或说 一行的公因子可以提出去。
- 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
- 对换行列式中两行的位置，行列式反号。
由行列式的性质可以得知方阵进行初等行变换对行列式的值影响。
计算矩阵的秩
首先，矩阵的初等行变换是把行向量变成一个与之等价的向量组。等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩。同样，初等列变换也不改变矩阵的秩。
其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零行的数目。
为了计算一个矩阵的秩，只要用初等行变换把它变成阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵中非零行的个数就是原来矩阵的秩。