高等代数3 行列式
目录
排列
-
定义
由(1,2,cdots,n)组成的一个有序数组称为一个(n)级排列
(n)级排列的总数是(n*(n-1)*(n-2)cdots 2 *1)。我们记(1*2cdots(n-1)*n=n!)，读为(n)阶乘。
显然(12cdots n)也是一个(n)级排列。这个排列是按着递增顺序排起来的，称为自然排序。
我们也考虑由任意(n)个不同的自然数所组成的排列，一般也称为(n)级排列。
逆序数—奇排列、偶排列、对换
-
逆序、逆序数
在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
排列(j_1j_2cdots j_n)的逆序数记为( au (j_1j_2cdots j_n))
-
奇排列、偶排列
逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。
-
对换
把排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这样的一个变换称为一个对换。
显然，连续进行两次相同的对换，那么排列就还原了。因此，一个对换把全部(n)级排列两两配对，使每两个配对的(n)级排列在这个兑换下互变。
-
定理1
对换改变排列的奇偶性
推论：在全部(n)级排列中，奇偶排列的个数相等，各有(n!/2)个。
-
定理2
任意一个(n)级排列与排列(12cdots n)都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。
n级行列式
取一固定的数域(P)作为基础。
定义
-
定义
(n)级行列式
[left | egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots &ddots & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight | ]等于所有取自不同行不同列的(n)个元素的乘积
[a_{1j_1}a_{2j_2}cdots a_{nj_n} ]的代数和。这里(j_1j_2 cdots j_n)是(1,2,cdots,n)的一个排列，每一项(2)都按下列规则带有符号：
当(j_1j_2 cdots j_n)是偶排列时，(2)带有正号；当(j_1j_2 cdots j_n)是奇排列时，（2）带有负号。这一定义可以写成
[left | egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots &ddots & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight | = sum_{j_1j_2cdots j_n}{(-1)^{ au(j_1j_2cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}cdots a_{nj_n}} ]这里的(sum_{j_1j_2cdots j_n})表示对所有(n)级排列求和。
上三角形行列式
[left |
egin{matrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
0 & a_{22} & cdots & a_{2n} \
vdots & vdots &ddots & vdots \
0 & 0 & cdots & a_{nn} \
end{matrix}
ight
|
=a_{11}a_{22}cdots a_{nn}
]
对角形行列式
主对角元素以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式
[left|
egin{matrix}
d & 0 & cdots & 0 \
0 & d & cdots & 0 \
vdots & vdots &ddots & vdots \
0 &0 & cdots &d \
end{matrix}
ight|
=
d_1d_2 cdots d_n
]
性质
- 性质1 行列互换，行列式不变
[left |
egin{matrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \
vdots & vdots &ddots & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \
end{matrix}
ight|
=
left |
egin{matrix}
a_{11} & a_{21} & cdots & a_{n1} \
a_{12} & a_{22} & cdots & a_{n2} \
vdots & vdots &ddots & vdots \
a_{1n} & a_{2n} & cdots & a_{nn} \
end{matrix}
ight|
]
转置行列式： 上式右边的行列式称为左边行列式的转置
- 性质2 一个数乘行列式的一行等于用这个数乘这个行列式，或说 一行的公因子可以提出去。
[left |
egin{matrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
k a_{i1} & ka_{i2} & cdots & ka_{in} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \
end{matrix}
ight|
=k
left |
egin{matrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \
end{matrix}
ight|
]
-
性质3 如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行外全与原来行列式的对应行一样。
[left | egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ vdots & vdots & & vdots \ b_{1}+c_1 & b_2+c_2 & cdots & b_n+c_n \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight| = left | egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ vdots & vdots & & vdots \ b_1 & b_2 & cdots & b_n \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight| + left | egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ vdots & vdots & & vdots \ c_1 & c_2 & cdots & c_n \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight| ]性质3，显然可以推广到某一行为多组数的和的情形
-
性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。
[left | egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ vdots & vdots & & vdots \ s_1 & s_2 & cdots & s_n \ vdots & vdots & & vdots \ s_1 & s_2 & cdots & s_n \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight| =0 ] -
性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零
[left |
egin{matrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
s_1 & s_2 & cdots & s_n \
vdots & vdots & & vdots \
ks_1 & ks_2 & cdots &k s_n \
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \
end{matrix}
ight|
=k
left |
egin{matrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
s_1 & s_2 & cdots & s_n \
vdots & vdots & & vdots \
s_1 & s_2 & cdots & s_n \
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \
end{matrix}
ight|
=0
]
-
性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变
[left | egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{i1}+ca_{k1} & a_{i2}+ca_{k2} & cdots & a_{in}+ca_{kn} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{k1} & a_{k2} & cdots & a_{kn} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight| =left | egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{k1} & a_{k2} & cdots & a_{kn} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight| + left | egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ vdots & vdots & & vdots \ ca_{k1} & ca_{k2} & cdots & ca_{kn} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{k1} & a_{k2} & cdots & a_{kn} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight| = left | egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{k1} & a_{k2} & cdots & a_{kn} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight| ] -
性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号
[left | egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{k1} & a_{k2} & cdots & a_{kn} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight| =- left | egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{k1} & a_{k2} & cdots & a_{kn} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight| ]
计算
一个(n)阶行列式可以看成由一个(n)级方阵(A)决定的，对于矩阵可以进行初等行变换变为阶梯形方阵，阶梯形方阵的行列式是上三角形的，也就等于对角线元素的乘积。
由行列式的性质2,6,7可以得知方阵进行初等行变换对行列式的值影响。
按一行（列）展开
余子式
在行列式
[left |
egin{matrix}
a_{11} & cdots& a_{1j} & cdots & a_{1n} \
vdots & & vdots & & vdots \
a_{i1} & cdots& a_{ij} & cdots & a_{in} \
vdots & & vdots & & vdots \
a_{n1} &cdots& a_{nj} & cdots & a_{nn} \
end{matrix}
ight|
]
中划去元素(a_{ij})所在的第(i)行和第(j)列，剩下的((n-1)^2)=个元素按着原来的排法构成一个(n-1)级的行列式
[M_{ij}=left |
egin{matrix}
a_{11} & cdots& a_{1，j-1} & a_{1,j+1}& cdots & a_{1n} \
vdots & & vdots &vdots & vdots \
a_{i-1,1} & cdots& a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1}& cdots & a_{i-1,n} \
a_{i+1,1} & cdots& a_{i+1，j-1} & a_{i+1,j+1}& cdots & a_{i+1,n} \
vdots & & vdots &vdots & vdots \
a_{n1} & cdots& a_{n,j-1} & a_{n,j+1}& cdots & a_{nn} \
end{matrix}
ight|
]
称为元素(a_{ij})的余子式，记为(M_{ij})。
代数余子式
[A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}
]
(A_{ij})称为元素(a_{ij})的代数余子式。
在行列式中，一行元素与另一行元素的代数余子式的乘积之和为零。
-
定理
设
[d=left | egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots &ddots & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight | ](A_{ij})表示元素(a_{ij})的代数余子式，则下列公式成立：
[a_{k1}A_{i1}+a_{k2}A_{i2}+cdots +a_{kn}A_{in}= egin{cases} d，&当k=i \ 0, &当k eq i end{cases} \ a_{1l}A_{1j}+a_{2l}A_{2j}+cdots +a_{nl}A_{nj}= egin{cases} d，&当l=j \ 0, &当l eq j end{cases} ]用连加号简写为
[sum_{s=1}^{n}{a_{ks}A_{is}}= egin{cases} d，&当k=i \ 0, &当k eq i end{cases} \ sum_{s=1}^{n}{a_{sl}A_{sj}}= egin{cases} d，&当l=j \ 0, &当l eq j end{cases} ]在计算数字行列式时，直接应用展开式不一定能简化计算，因为把一个(n)级行列式的计算换成(n)个(n-1)级行列式的计算并不减少计算量，只是当某一行（列）中含有较多零时，应用（17）才有意义。但这个公式在理论上是重要的。
范德蒙行列式
行列式
[d
=
left |
egin{matrix}
1 &1 &1 & cdots &1 \
a_1 &a_2 &a_3 & cdots & a_n \
a_1^2 &a_2^2 &a_3^2 & cdots & a_n^2 \
vdots & vdots &vdots & & vdots \
a_1^{n-1} &a_2^{n-1} &a_3^{n-1} & cdots & a_n^{n-1} \
end{matrix}
ight
|
]
称为(n)级的范德蒙德行列式。
对任意的(n(ngeq 2))级范德蒙德行列式等于(a_1,a_2, cdots ,a_n)这(n)个数的所有可能的差(a_i -a_j(1 leq j <ileq n))的乘积。
[d
=
left |
egin{matrix}
1 &1 &1 & cdots &1 \
a_1 &a_2 &a_3 & cdots & a_n \
a_1^2 &a_2^2 &a_3^2 & cdots & a_n^2 \
vdots & vdots &vdots & & vdots \
a_1^{n-1} &a_2^{n-1} &a_3^{n-1} & cdots & a_n^{n-1} \
end{matrix}
ight
|=
prod_{1leq j<i leq n}(a_i-a_j)
]
由上式可以得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是(a_1,a_2, cdots,a_n)这(n)个数中至少有两个相等。
克拉默法则—方程个数等于未知数个数
只考虑方程个数与未知数个数相等的情形。
-
定理
如果线性方程组
[egin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+cdots +a_{1n}x_n=b_1 \ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+cdots +a_{2n}x_n=b_2 \ cdots cdots \ a_{n1}x_1 +a_{n2}x_2+cdots +a_{nn}x_n=b_n \ end{cases} ]的系数矩阵
[A_{nn}=left ( egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} &a_{n2} & cdots &a_{nn} \ end{matrix} ight ) ]的行列式，即系数行列式 (d=|A| eq 0).
那么线性方程组（19）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为
[x_1=frac{d_1}{d},x_2=frac{d_2}{d},cdots,x_n=frac{d_n}{d} ]其中(d_j)是把矩阵中第(j)列换成方程组的常数项(b_1,b_2,cdots,b_n)所组成的矩阵的行列式，即
[d_j= left | egin{matrix} a_{11} & cdots & a_{1,j-1} &b_1 &a_{1,j+1} &cdots &a_{1n} \ a_{21} & cdots & a_{2,j-1} &b_2 &a_{2,j+1} &cdots &a_{2n} \ vdots & & vdots &vdots &vdots & &vdots\ a_{n1} & cdots & a_{n,j-1} &b_n &a_{n,j+1} &cdots &a_{nn}\ end{matrix} ight |,j=1,2,cdots,n ]
二元线性方程组
[egin{cases}
a_{11}x_1 +a_{12}x_2=b_1 \
a_{21}x_1 +a_{22}x_2=b_2 \
end{cases}
]
当二级行列式
[left |
egin{matrix}
a_{11} & a_{12} \
a_{21} & a_{22} \
end{matrix}
ight |
eq 0
]
时，该方程组有唯一解，解为
[x_1=frac{left |
egin{matrix}
b_1 & a_{12} \
b_2 & a_{22} \
end{matrix}
ight |}{left |
egin{matrix}
a_{11} & a_{12} \
a_{21} & a_{22} \
end{matrix}
ight |},
x_2=frac{left |
egin{matrix}
a_{11}&b_1 \
a_{21} &b_2 \
end{matrix}
ight |}{left |
egin{matrix}
a_{11} & a_{12} \
a_{21} & a_{22} \
end{matrix}
ight |}
]
三元线性方程组
[egin{cases}
a_{11}x_1 +a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1 \
a_{21}x_1 +a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \
a_{31}x_1 +a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3
end{cases}
]
当三级行列式
[left |
egin{matrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33} \
end{matrix}
ight |
eq 0
]
时，该方程组有唯一解，解为
[x_1=frac{d_1}{d},x_2=frac{d_2}{d},x_3=frac{d_3}{d}
]
其中
[d_1=left |
egin{matrix}
b_1 & a_{12} & a_{13} \
b_2 & a_{22} & a_{23} \
b_3 & a_{32} & a_{33} \
end{matrix}
ight |
d_2=
left |
egin{matrix}
a_{11} & b_1 & a_{13} \
a_{21} & b_2 & a_{23} \
a_{31} & b_3 & a_{33} \
end{matrix}
ight |
d_3=
left |
egin{matrix}
a_{11} & a_{12} & b_1 \
a_{21} & a_{22} & b_2 \
a_{31} & a_{32} & b_3 \
end{matrix}
ight |
]