nim游戏：
n堆石子，操作为可以从任意一堆拿走任意正整数个石子，不能操作者输。问先手胜还是后手胜。
结论：
当n堆石子的个数的亦或为0时，先手必败；否则先手必胜。
证明：
1，若亦或值不为0，则一定可以通过一步操作让它变成0.
考虑亦或值最高位的那个1，一定有一堆石子数在那一位是1（否则总的亦或里的那个1是怎么来的=-=）。我们让该堆石子那一位的1变成0，再对该数把总亦或里剩下的1的位置取反，那么这堆石子肯定是减少的（因为把一个高位的1变成0之后，低位再怎么改变也肯定是减小的）。
2，若亦或值为0，则无法通过一个操作让它保持0
貌似是显然吧...因为改变一个数之后肯定有些位置从0变成1，有些位置从1变成0.
题目：
一个n个台阶的楼梯，每个楼梯上有ai个石子。操作为可以拿从一层楼梯上拿若干个石子到下一层楼梯（不能不拿），拿到地面上的石子不能再拿。问先手胜还是后手胜。
题解：
通过后手相消的原则，我们可以发现偶数层楼梯上的石子是无效的（因为如果一方从偶数层上拿了若干石子到奇数层，另一方再把它们拿到偶数层就可以了，而地面（第0层）是偶数层，所以最终这些石子是没有意义的）。
所以这就是奇数层上石子的nim游戏。
题目：
一个n个台阶的楼梯，每个台阶上有ai个石子。操作为可以把一个石子拿到下面任何一个台阶（或地面），地面上的石子不能再拿。问先手胜还是后手胜。
题解：
把每个石子看做nim游戏中的一堆即可。
nim-k：
n堆石子。操作为可以从这n堆石子中挑选不超过k堆石子（至少1堆），每堆取任意个（至少1个，不同堆取的石子数可以不同）。问先手胜还是后手胜。
结论：
把每堆石子数转换成二进制数后相加（不进位），再把每一位 mod (k+1)，若最终每一位都是0，则后手胜，否则先手胜。
证明：
和nim游戏的证明很像，建议读者自己想一想（凭各位的聪明才智一定没有问题的qwq）。
Take-and-Break Game：
n堆石子，每次可以取走一堆石子，然后放入两堆规模更小的石子(可以为0).最后不能操作的人输。
题解：
容易看出每堆石子都是单独的，所以可以用SG定理求解。（还不了解sg定理的同学可以点这里）
然后枚举x能转移到的所有状态，算出这些后继的sg值后取mex即可。（x的一个后继为sgi^sgj,i<x,j<x）。用记忆化搜索，复杂度O（n）.
本人蒟蒻一枚，若博客中有错误请各位大佬指出qwq