Luogu P2900 [USACO08MAR]土地征用Land Acquisition

设 $a_i,b_i分别为第i块土地的长、宽$ 。

首先，我们按长为第一关键字，宽为第二关键字排序，使得长为非下降序列，当长相等时，宽为非下降序列。因为如果一块土地长，宽都大，就可以把比它长宽都小的土地吃掉，所以我们排序后，再删去一些不需要保留的土地，使得所有土地的宽单调递减。

#define a(i) a[i].a
#define b(i) a[i].b
struct node
{
	ll a,b;
	bool operator <(node c)const{return a==c.a?b<c.b:a<c.a;}//这是重载运算符
}a[N];
//bool cmp(node x,node y){return x.a==y.a?x.b<y.b:x.a<y.a;}
//重载运算符不会打，那就只打上面的一行。

		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%lld%lld",&a(i),&b(i));
		sort(a+1,a+n+1);
		int t=1;
		for(int i=2;i<=n;i++)
		{
			while(t&&b(i)>=b(t))t--;
			a[++t]=a[i];
		}
		n=t;

为什么要这样处理呢？证明：
若 $i<j<k且a_i<a_j<a_k且b_i>b_j>b_k$ ，我们选择 $i,k为一块，j为一块的话$ ,费用为 $a_k*b_i+a_j*b_j$ 。但是， $把i,j,k分成一块的费用只需a_k*b_i。$
所以，我们排序、删土地后，要取连续的一段。

接着，我们设 $f[i]$ 表示对前 $i$ 块土地分成若干个连续块的最小费用。
则有： $f[i]=min~~{f[j-1]+a_i*b_j}~~~(0<j<i)$
把它转化为 $y=kx+b$ 的形式：
$f[j-1]=(-a_i)*b_j+f[i]$
$~~~~~~~y~~~~~=~~~~~k~~~~~~x~~+~~b$
认真看链接的同学知道用斜率优化的题有以下性质：

1.

斜率 $(k，即本题中的-a_i)$ 具有单调性.

2.

横坐标 $（x）$ 单调递增

3.

决策点（继承点）有序。
一般来说，当前处理的状态(如此题中的 $f[i]$ )前面符号正负最好与取最大值还是最小值有关。
对笔者而言，取最小值时前面符号最好为正，反之最好为负。

但是，上面的 $b_j$ 并不单调递增啊。
没事，我们可把上式变为： $f[j-1]=a_i*(-b_j)+f[i]$
这样， $k,x都单调递增，且满足f[i]前面是正号,就可以用斜率优化了。$

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define a(i) a[i].a
#define b(i) a[i].b
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e4+10;
int n,q[N],l,r;
ll f[N];
struct node
{
	ll a,b;
	bool operator <(node c)const{return a==c.a?b<c.b:a<c.a;}
}a[N];
inline ll x(int i){return -b(i+1);}
inline ll y(int i){return f[i];}
inline bool pd(int i,int j,int k)
{
	return (y(j)-y(i))*(x(k)-x(j))<(y(k)-y(j))*(x(j)-x(i));
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&a(i),&b(i));
	sort(a+1,a+n+1);
	int t=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		while(t&&b(i)>=b(t))t--;
		a[++t]=a[i];
	}
	n=t;
	l=r=1;q[1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		while(l<r&&y(q[l+1])-y(q[l])<=a(i)*(x(q[l+1])-x(q[l])))l++;
		int j=q[l];
		f[i]=f[j]+b(j+1)*a(i);
		while(l<r&&!pd(q[r-1],q[r],i))r--;
		q[++r]=i;
	}
	printf("%lld
",f[n]);
	return 0;
}