问题描述
且说上一周的故事里，小Hi和小Ho费劲心思终于拿到了茫茫多的奖券！而现在，终于到了小Ho领取奖励的时刻了！
小Ho现在手上有M张奖券，而奖品区有N件奖品，分别标号为1到N，其中第i件奖品需要need(i)张奖券进行兑换，同时也只能兑换一次，为了使得辛苦得到的奖券不白白浪费，小Ho给每件奖品都评了分，其中第i件奖品的评分值为value(i),表示他对这件奖品的喜好值。现在他想知道，凭借他手上的这些奖券，可以换到哪些奖品，使得这些奖品的喜好值之和能够最大。
提示一：合理抽象问题、定义状态是动态规划最关键的一步
提示二：说过了减少时间消耗，我们再来看看如何减少空间消耗
输入
每个测试点（输入文件）有且仅有一组测试数据。
每组测试数据的第一行为两个正整数N和M,表示奖品的个数，以及小Ho手中的奖券数。
接下来的n行描述每一行描述一个奖品，其中第i行为两个整数need(i)和value(i)，意义如前文所述。
测试数据保证
对于100%的数据，N的值不超过500，M的值不超过10^5
对于100%的数据，need(i)不超过2*10^5, value(i)不超过10^3
输出
对于每组测试数据，输出一个整数Ans，表示小Ho可以获得的总喜好值。
样例输入
5 1000
144 990
487 436
210 673
567 58
1056 897
样例输出
2099
题解
01背包
(dp[i][j])代表考虑到第i个物品，最佳择方案得到的收益。转移方程为[dp[i][j]=max(dp[i-1][j]，dp[i-1][j-need[i])+value[i] ]由于这个方程转移只与上一层状态有关，可以简化为：
[for(i=m;i>=nedd[i];i--)$$ //必须倒着做，防止这一层的结果相互影响，即这一层只能由上一层得来 $$dp[j]=max(dp[j]，dp[j-need[i]]+value[i])]
参考代码
import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main {
static final int N=(int)1e5+10;
static int dp[]=new int[N],
a[][]=new int[N][2];
public static void main(String[] args){
Scanner sc=new Scanner(new InputStreamReader(System.in));
int n=sc.nextInt(),m=sc.nextInt();
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=0;j<2;j++) {
a[i][j]=sc.nextInt();
}
}
for(int i=0;i<=m;i++) dp[i]=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=m;j>=a[i][0];j--) {
dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-a[i][0]]+a[i][1]);
}
}
int ans=0;
for(int i=0;i<=m;i++) ans=Math.max(dp[i],ans);
System.out.println(ans);
sc.close();
}
}
二维版
import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main {
static final int N=(int)1e5+10;
static int dp[][]=new int[505][N],
a[][]=new int[N][2];
public static void main(String[] args){
Scanner sc=new Scanner(new InputStreamReader(System.in));
int n=sc.nextInt(),m=sc.nextInt();
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=0;j<2;j++) {
a[i][j]=sc.nextInt();
}
}
for(int i=0;i<=m;i++) dp[0][i]=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=0;j<=m;j++) {
dp[i][j]=dp[i-1][j]; //防止出现断层
}
for(int j=a[i][0];j<=m;j++) {
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-a[i][0]]+a[i][1]);
}
}
int ans=0;
for(int i=0;i<=m;i++) ans=Math.max(ans, dp[n][i]);
System.out.println(ans);
sc.close();
}
}