排序---优先队列

写在前面的话：

一枚自学Java和算法的工科妹子。

算法学习书目：算法（第四版） Robert Sedgewick
算法视频教程：Coursera Algorithms Part1&2

本文是根据《算法（第四版）》的个人总结，如有错误，请批评指正。

一、优先队列介绍

优先队列是0个或多个元素的集合,每个元素都有一个优先权或值,对优先队列执行的操作有1) 插入元素;2) 删除最大（最小）元素.

在最小优先队列(min priority queue)中,删除操作用来删除优先权最小的元素；在最大优先队列(max priority queue)中,删除操作用来删除优先权最大的元素。

优先队列的使用和队列（删除最老的元素）以及栈（删除最新的元素）类似，但高效的实现它则更具有挑战性。

优先队列是一种抽象数据类型，它表示了一组值和对这些值的操作。优先队列（最大优先队列为例）的API设计如下：

设计优先队列API，我们想实现的功能：输入N个字符串（N非常大），每个字符串都对应着一个整数，目标就是从中找出最大的（或最小的）M个整数及其关联的字符串。在上述API中着重要关注的方法就是插入insert()和删除最大元素delMax().

解决方法：

1.将输入排序然后从中找出M个最大的元素，但是因为输入元素非常庞大，造成存储空间的浪费；

2.将每个新的输入和已知的M个最大元素对比，这会导致比较的时间复杂度为NM;

3.以下会介绍基于堆的优先队列实现，降低时间和空间复杂度。

表1 从N个输入中找到最大的M个元素所需的成本

示例	时间复杂度	空间复杂度
排序算法的用例（方法一）	NlgN	N
初级实现的优先队列（方法二）	NM	M
基于堆的优先队列（方法三）	NlgM	M

优先队列的初级实现：

1.数组实现（无序）

插入操作：和栈的push()方法完全一样；
删除操作：添加一段类似于选择排序的内循环，将最大元素和边界元素交换，然后删除，和pop()操作一样；

 1 public class UnorderedMaxPQ<Key extends Comparable<Key>>
 2 {
 3     private Key[] pq; // pq[i] = ith element on pq
 4     private int N; // number of elements on pq
 5     
 6     public UnorderedMaxPQ(int capacity){ 
 7          pq = (Key[]) new Comparable[capacity]; 
 8     }
 9 
10     public boolean isEmpty(){ return N == 0; }
11     
12     public void insert(Key x){ pq[N++] = x; }
13    
14     public Key delMax(){
15         int max = 0;
16         for (int i = 1; i < N; i++)
17             if (less(max, i)) max = i;
18         exch(max, N-1);
19         return pq[--N];
20     }
21 }

2.数组实现（有序）

插入操作：将所有较大的元素向右边移动一个使数组保持有序，类似于插入排序；
删除操作：和栈的pop()操作一样；

表2 优先队列的各种事先在最坏情况下运行时间的增长数量级

数据结构	插入元素	删除最大元素
无序数组	N	1
有序数组	1	N
堆	lgN	lgN

二、二叉堆的介绍

在二叉堆数组中，每个元素都要保证大于等于另两个特定位置的元素。从a[k]向上一层就令k=k/2，向下一层就令K=2k或2k+1。一颗大小为N的完全二叉树的高度为lgN向下取整。

堆有序化操作：

（1）由下至上的堆有序化（上浮）

1 private void swim(int k) {
2    while (k > 1 && less(k/2, k)) {
3       exch(k, k/2);
4       k = k/2;
5    }
6 }

（2）由上至下的堆有序化（下沉）

1 private void sink(int k) {
2    while (2*k <= N) {
3       int j = 2*k;
4       if (j < N && less(j, j+1)) j++;
5       if (!less(k, j)) break;
6       exch(k, j);
7       k = j;
8    }
9 }

三、基于堆的优先队列

1.如何实现？

优先队列有一个基于堆的完全二叉树表示，存储于数组pq[1..N]中，pq[0]没有使用。
在insert()中，我们将N加1并把新元素添加在数组最后，然后用swim()恢复堆的秩序。
在delete()中，我们从pq[1]中得到需要的返回元素，然后将pq[N]移动到pq[1],将N减1并使用sink()恢复堆的秩序。
同时我们还将不在使用的pq[N+1]设置为null，以便系统回收删除元素所占用的空间，也使用了动态调整数组大小的方法，具体见下压栈（LILO）详解。

2.性能分析

对于一个含有N个元素的基于堆的优先队列，插入元素操作只需不超过（lgN+1）次比较，删除最大元素的操作需要不超过2lgN次比较，以下是代码实现：

  1 import java.util.Comparator;
  2 import java.util.Iterator;
  3 import java.util.NoSuchElementException;
  4 
  5 public class MaxPQ<Key> implements Iterable<Key> {
  6     private Key[] pq;                    // 完全二叉树
  7     private int n;                      // 优先队列中元素数目
  8     private Comparator<Key> comparator;  // optional Comparator
  9 
 10     public MaxPQ(int initCapacity) {
 11         pq = (Key[]) new Object[initCapacity + 1];
 12         n = 0;       // pq[0]没有使用
 13     }
 14 
 15     public MaxPQ() { this(1);}
 16 
 17     public MaxPQ(int initCapacity, Comparator<Key> comparator) {
 18         this.comparator = comparator;
 19         pq = (Key[]) new Object[initCapacity + 1];
 20         n = 0;
 21     }
 22 
 23     public MaxPQ(Comparator<Key> comparator) {
 24         this(1, comparator);
 25     }
 26 
 27     public MaxPQ(Key[] keys) {
 28         n = keys.length;
 29         pq = (Key[]) new Object[keys.length + 1]; 
 30         for (int i = 0; i < n; i++)
 31             pq[i+1] = keys[i];
 32         for (int k = n/2; k >= 1; k--)
 33             sink(k);
 34         assert isMaxHeap();
 35     }
 36       
 37     public boolean isEmpty() {return n == 0; }
 38 
 39     public int size() {return n;}
 40 
 41     public Key max() {
 42         if (isEmpty()) throw new NoSuchElementException("Priority queue underflow");
 43         return pq[1];
 44     }
 45 
 46     private void resize(int capacity) {
 47         assert capacity > n;
 48         Key[] temp = (Key[]) new Object[capacity];
 49         for (int i = 1; i <= n; i++) {
 50             temp[i] = pq[i];
 51         }
 52         pq = temp;
 53     }
 54 
 55     public void insert(Key x) {
 56 
 57         // double size of array if necessary
 58         if (n >= pq.length - 1) resize(2 * pq.length);
 59 
 60         // add x, and percolate it up to maintain heap invariant
 61         pq[++n] = x;
 62         swim(n);
 63         assert isMaxHeap();
 64     }
 65 
 66     public Key delMax() {
 67         if (isEmpty()) throw new NoSuchElementException("Priority queue underflow");
 68         Key max = pq[1];
 69         exch(1, n--);
 70         sink(1);
 71         pq[n+1] = null;     // to avoid loiterig and help with garbage collection
 72         if ((n > 0) && (n == (pq.length - 1) / 4)) resize(pq.length / 2);
 73         assert isMaxHeap();
 74         return max;
 75     }
 76 
 77     private void swim(int k) {
 78         while (k > 1 && less(k/2, k)) {
 79             exch(k, k/2);
 80             k = k/2;
 81         }
 82     }
 83 
 84     private void sink(int k) {
 85         while (2*k <= n) {
 86             int j = 2*k;
 87             if (j < n && less(j, j+1)) j++;
 88             if (!less(k, j)) break;
 89             exch(k, j);
 90             k = j;
 91         }
 92     }
 93 
 94     private boolean less(int i, int j) {
 95         if (comparator == null) {
 96             return ((Comparable<Key>) pq[i]).compareTo(pq[j]) < 0;
 97         }
 98         else {
 99             return comparator.compare(pq[i], pq[j]) < 0;
100         }
101     }
102 
103     private void exch(int i, int j) {
104         Key swap = pq[i];
105         pq[i] = pq[j];
106         pq[j] = swap;
107     }
108 
109     // is pq[1..N] a max heap?
110     private boolean isMaxHeap() {
111         return isMaxHeap(1);
112     }
113 
114     // is subtree of pq[1..n] rooted at k a max heap?
115     private boolean isMaxHeap(int k) {
116         if (k > n) return true;
117         int left = 2*k;
118         int right = 2*k + 1;
119         if (left  <= n && less(k, left))  return false;
120         if (right <= n && less(k, right)) return false;
121         return isMaxHeap(left) && isMaxHeap(right);
122     }
123 
124     public Iterator<Key> iterator() {
125         return new HeapIterator();
126     }
127 
128     private class HeapIterator implements Iterator<Key> {
129 
130         // create a new pq
131         private MaxPQ<Key> copy;
132 
133         // add all items to copy of heap
134         // takes linear time since already in heap order so no keys move
135         public HeapIterator() {
136             if (comparator == null) copy = new MaxPQ<Key>(size());
137             else                    copy = new MaxPQ<Key>(size(), comparator);
138             for (int i = 1; i <= n; i++)
139                 copy.insert(pq[i]);
140         }
141 
142         public boolean hasNext()  { return !copy.isEmpty();                     }
143         public void remove()      { throw new UnsupportedOperationException();  }
144 
145         public Key next() {
146             if (!hasNext()) throw new NoSuchElementException();
147             return copy.delMax();
148         }
149     }
150 }

3.堆排序

 1 public class Heap
 2 {
 3     public static void sort(Comparable[] a){
 4        int N = a.length;
 5        for (int k = N/2; k >= 1; k--) sink(a, k, N);
 6        
 7        while (N > 1){
 8        exch(a, 1, N);
 9         sink(a, 1, --N);
10         }
11     }
12    
13      private static void sink(Comparable[] a, int k, int N)
14      { /* as before */ }
15      private static boolean less(Comparable[] a, int i, int j)
16      { /* as before */ }
17      private static void exch(Comparable[] a, int i, int j)
18      { /* as before */ }
19 }

作者： 邹珍珍（Pearl_zhen）

出处： http://www.cnblogs.com/zouzz/

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