Concepts of Hypothesis Testing

Concepts of Hypothesis Testing

假说检验的目的是利用样本来测试一个或者多个群体的参数值

Steps for Testing a Hypothesis

1.设定虚无假说(null hypothesis,(H_0))和对立假说(alternative hypothesis,(H_1/H_a))

2.指定显著水准(level of significance,(alpha))

3.决定适当的检定统计量(test statistic)

4.决定弃却域(rejection region)

5.下结论--推翻(H_0)/不推翻(H_0)(fail to reject (H_0) )

说明

1.对立假说(alternative hypothesis,(H_1/H_a))：研究者收集证据想要支持的假说

根据不同的(H_1),我们可以将检定分为：

1.单尾检定(One-sided Test)

对立假设里面有‘</>’出现，‘<'出现在( ightarrow)左尾假设

型一误差：(H_0)对当错,在我们证明的结论是(H_0)可以推翻时（即h1成立）我们就犯了第一类错误（(alpha) 型一误差）
型二误差：(H_0)错当对，在我们证明的结论是(H_0)不能推翻（即h1不成立）时我们就犯了第二类错误（(eta) 型二误差）

单个正态总体的均值与方差

检定(mu)

1. 单样本(U)检验法:
   (X_{1}, X_{2}, cdots, X_{n}) 是从正态总体 (quad Nleft(mu, sigma_{0}^{2} ight) quad) 中抽取的简单随机样本
   已知 (sigma_{0}^{2},) 检验假设 (quad oldsymbol{H}_{0}: oldsymbol{mu}=oldsymbol{mu}_{0}, quad oldsymbol{H}_{1}: mu eq oldsymbol{mu}_{0})
   原假设成立时，检验统计量为: (quad U=frac{ar{X}-mu_{0}}{sigma_{0} / sqrt{n}} sim N(0,1))
   拒绝域为: (quad|u|>u_{frac{alpha}{2}})
2. 单样本(t)检验法:
   (X_{1}, X_{2}, cdots, X_{n}) 是从正态总体 (Nleft(mu, sigma^{2} ight)) 中抽取的简单随机样本.
   (sigma^{2}) 未知，检验假设 (quad oldsymbol{H}_{0}: oldsymbol{mu}=oldsymbol{mu}_{0}, quad oldsymbol{H}_{1}: mu eq oldsymbol{mu}_{0})
   原假设成立时，检验统计量为: (quad T=frac{ar{X}-mu_{0}}{S / sqrt{n}} sim t(n-1))
   拒绝域为: (quad|t|>t_{frac{alpha}{2}}(n-1))

检定(delta^2)

(chi^{2}) 检验法
(X_{1}, X_{2}, cdots, X_{n}) 是从正态总体 (Nleft(mu, sigma^{2} ight)) 中抽取的简单随机样本.
检验假设: (quad H_{0}: sigma^{2}=sigma_{0}^{2}, quad H_{1}: sigma^{2} eq sigma_{0}^{2})

1. (mu) 已知
   原假设成立时，检验统计量为: (quad chi^{2}=sum_{i=1}^{n}left(frac{X_{i}-mu}{sigma_{0}} ight)^{2} sim chi^{2}(n))
2. (mu) 未知
   检验假设: (quad H_{0}: sigma^{2}=sigma_{0}^{2}, quad H_{1}: sigma^{2} eq sigma_{0}^{2})
   原假设成立时，检验统计量为:

[chi^{2}=(n-1) frac{mathrm{S}^{2}}{sigma_{0}^{2}} sim chi^{2}(n-1) ]