拓扑总结
拓扑空间
一个集合X上一个拓扑是X的子集的一个族(Im)
它满足以下条件：
((i) varnothing)和(X)都要在(Im)中
((ii)Im)的任意子族的元素的并都要在(Im)中
((iii)Im)的任意有限子族的元素的交都要在(Im)中
一个指定了拓扑(Im)的集合X叫做一个拓扑空间(拓扑空间指的是有序对((Im,X)),一般来说不专门提到(Im)
从某种角度来说，我们可以认为拓扑空间指的是一个集合X连同它的子集的一个族(拓扑空间指的是集合的某种组合)
(X)的子集的全部组合我们称之为幂集(2^X)
例子：
1.1:(X={a,b,c,d,e,f},Im_{1} ={X,varnothing,{a},{c,d},{a,c,d},{b,c,d,e,f}})则(Im_{1})满足上述的性质，(Im_{1})为X上的一个拓扑
1.2:(X={a,b,c,d,e},Im_{2} ={X,varnothing,{a},{c,d},{a,c,e},{b,c,d}})，({a}cup{c,d}
subseteq Im_{2}),则(Im_{2})不是X上的拓扑
1.3(X={a,b,c,d,e},Im_{3} ={X,varnothing,{a},{f},{a,c,f},{b,c,d,e,f}})，({a}cap{f}cap{a,c,f}
subseteqIm_{3}),则(Im_{3})不是X上的拓扑
1.4(mathbb{N}),(Im_{4})为(mathbb{N})组成的所有有限子集，这里我们注意一个概念，假设(A_i={i},i)取遍所有大于1的整数。因为每个(A_i)是一个开集，那么它们的并集应该也在这里，但是他们的并集是无限集，又不可能在这里，矛盾了。
(Im_{4})不是X上的拓扑
拓扑之间的细与粗
设(Im)和(Im')为给定集合上的两个拓扑，如果(Im' subset Im),称(Im')细于(Im)