JZOJ 3456. 【NOIP2013模拟联考3】恭介的法则(rule)

题目

Description

终于，在众亲们的奋斗下，最终boss 恭介被关进了库特设计的密室。正当她们松了一口气时，这个世界却发生了天翻覆地的变化：地面开始下沉，天空开始变成血红色，海水沸腾……一幅世界末日的图景。美鱼从她手中的古籍《若山牧水诗歌集》中发现了原因：白鸟はかなしからずや空の青海のあをにも染まずただよふ。大（xia）意（shuo）就是狡猾的恭介在创造这个世界的时候就篡改了法则。而这个法则的起源，就是一只生死之间的猫。这个猫被关在一个黑盒子里，盒子里有两个毒气罐，如果有任意一个毒气罐被打开那么猫将会被杀死，法则也能得到纠正。然而外界能控制的仅仅是这两个毒气罐被打开的概率。假设第一个毒气罐被打开的概率为1/x，第二个毒气罐为1/y（x,y 为正整数），那么当两个概率和为1/(n!)时，猫将会被莫名其妙地杀死。现在美鱼想知道，有多少对(x,y)可以让猫被莫名其妙杀死。

Input

一行，一个正整数n

Output

一行，满足题意的(x,y)对数。

Sample Input

Sample Output

Data Constraint

对于30%的数据 n<=6

对于60%的数据 n<=50

对于100%的数据 n<=700000

分析

来手推一下
T2：先移项： $x=\frac{y(n!)}{y-n!}$
又 $\because$ x，y，n！为正整数
$\therefore y(n!)>0,y-n!>0$
$\therefore y>n!$
设 $y=n!+k$
则 $x=(n!)^2+n!k/k$
所以k|(n!)^2+n!k
所以k|(n!)^2
然后我们求约数个数就是
首先如果求n的因子个数
那么我们就是分解质因数
至于怎么算每个质数p出现的次数，p的次数等于[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+….这个可以看成是把1~n里p的倍数的数字都除掉一个p，这样的数有[n/p]个
除完之后这[n/p]个数会变成1~[n/p]，然后再除掉一个p，就是[[n/p]/p]个，然后变成1~[n/p^2]，一直做下去。

代码

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 using namespace std;
 4 const long long md=1000000000;
 5 int n,sum,num=1,vis[700002];
 6 unsigned long long s[1000002],f[10000002];
 7 void calc(long long x)
 8 {
 9     int p=0;
10     for (int i=1;i<=num;i++)
11     {
12         s[i]=s[i]*x+p;
13         p=s[i]/md;
14         s[i]%=md;
15     }
16     while (p) s[++num]=p%md,p/=md;
17 }
18 int main ()
19 {
20     int n;
21     cin>>n;
22     s[1]=1;
23     long long k=1;
24     for (int i=2;i<=n;i++)
25     if (!vis[i])
26     {
27         for (int j=1;j<=n/i;j++) vis[i*j]=1;
28         int t=n/i,t1=0;
29         while (t) t1+=t,t/=i;
30         t1=t1*2+1;
31         if (k*t1>md)
32         {    
33             calc(k);
34             k=1;
35         }
36         k*=t1;
37     }
38     if (k>1) calc(k);
39     printf("%lld",s[num]);
40     for (int i=num-1;i>=1;i--)
41       printf("%09lld",s[i]);
42 }