JZOJ 3057. 电影票

题目

Description

【问题描述】

    笨笨当了很久的道路调度员，笨笨也开始想体验生活，从生活中发现数学问题，锻炼自己思维。最近《变形金刚3》，《哈利波特7》同步放映，明显是决战雌雄，已知王府井中一共有n人买了《变形金刚3》的票，m人买了《哈利波特7》的票，并且n>=m，并且电影院中现在只有两种票，每次只有一个人买，(共有n+m次)，这n+m次组成一个排列，为了保证每一个人买票时，《变形金刚3》票房都不少于《哈利波特7》，(n个买《变形金刚3》的人之间没区别，m个买《哈利波特7》的人也没区别),笨笨想着到这样的购票方案有多少种。笨笨想了好久都没想出来，所以笨笨找到了你。

【输入格式】

一行两个数n,m (  0<=m<=n<=5000)

 

Input

【输入格式】

一行两个数n,m (  0<=m<=n<=5000)

Output

【输出格式】

    输出方案种数

 

Sample Input

1 1

Sample Output

1

 

Data Constraint

 

 

Hint

0<=m<=n<=5000

 

分析

  假设将买《变形金刚3》票的人记为s 。买《哈利波特7》的人记为x,

  则n个买《变形金刚3》的与m个买《哈利波特7》的人的队伍就可以用一个具有n个s和m个x的字符串，

  显然这样的字符串共有C(n+m,n）个，其中不满足问题要求的串一定存在一个最靠左的位置p，

  使得从第一个字符到第p个字符为止的子串中x的个数比s的个数大1.如sxsxx就是一个不满足条件的串，其中p=5。我们将从头到p为止的子串中的字

  符  s换成x则得到一个具有n+1个s，m-1个x的串，可以证明这种转换是一一对应的，

  即任意一个n+1个s，m-1个x的串都可以按照逆规则转换成一个不满足题目条件的串，

  转换规则为在任意一个n+1个s，m-1个x中找到最靠左的p，

  使得从头到p的子串中s的个数比x个数大1，将到p为止的子串中的s与x互换则得到n个s和m个x的串，

   且此串一定不能满足条件，而具有n+1个s，m-1个x的串只有C(n+m,n+1）。那么ans=C(n+m,n)-C(n+m,n+1)=(n+1-m)*(m+n)!/(m!*(n+1)!)种方案可满足条件。

   由于问题的规模很大，结果远远超出longint，要用高精度算法，虽然结果表达式中有分母，但实际结果一定是整数，所以不需要除法运算，具体运算 时只要求出(n+1-m)*(m+n)!/(m!*(n+1)!的质因子分解式，然后做高精度即可，而任意一个质因子r在n！中出现次数为[n/r]+[n/(r^2)]+[n/(r^3)]+...[n/(r^k)]，[]为取整。

 

代码

#include<cstdio> 
#include<algorithm>
#define N 501
#define mod 100000000
using namespace std;long long ans[N];
int n,m,a[50001],b[50001],lena,lenb,x,p,q;
void push(int *a,int x,int &len)
{
    for(register int j=2;j*j<=x;j++)
    while(x%j==0) x/=j,a[++len]=j;
    if(x!=1) a[++len]=x;
    return;
}
long long ksm(long long x,int y)
{
    long long ans=1;
    for(;y;y>>=1,x*=x) if(y&1) ans*=x;
    return ans;
}
void mul(long long x)
{
    int t=0;
    for(register int j=N-1;j>0;j--)
    {
        (ans[j]*=x)+=t;
        if(ans[j]>=mod) t=ans[j]/mod;
        else t=0;
        ans[j]%=mod;
    }
    return;
}
signed main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(register int i=n+m;i>m;i--) push(a,i,lena);
    for(register int i=1;i<=n;i++) push(b,i,lenb);
    push(a,n-m+1,lena);push(b,n+1,lenb);
    sort(a+1,a+1+lena);sort(b+1,b+1+lenb);
    p=1;q=1;
    while(q<=lena)
    {
        if(a[p]==b[q])
        {
            a[p]=1;b[q]=1;
            p++;q++;
            continue;
        }
        if(a[p]<b[q]) p++;
        else q++;
    }
    ans[N-1]=1;
    for(register int i=1;i<=lena;) 
    if(a[i]!=1) 
    {
        int j=0;
        while(a[i]==a[i+j]) j++;
        mul(ksm((long long)a[i],j));
        i+=j;
    }
    else i++;
    int j=1;
    while(!ans[j]) j++;
    printf("%lld",ans[j]);
    for(register int i=j+1;i<N;i++)
    {
        if(ans[i]<1e7) putchar(48);
        if(ans[i]<1e6) putchar(48);
        if(ans[i]<1e5) putchar(48);
        if(ans[i]<1e4) putchar(48);
        if(ans[i]<1e3) putchar(48);
        if(ans[i]<1e2) putchar(48);
        printf("%lld",ans[i]);
    }
}