[ACM_动态规划] POJ 1050 To the Max ( 动态规划二维最大连续和最大子矩阵）

Description

Given a two-dimensional array of positive and negative integers, a sub-rectangle is any contiguous sub-array of size 1*1 or greater located within the whole array. The sum of a rectangle is the sum of all the elements in that rectangle. In this problem the sub-rectangle with the largest sum is referred to as the maximal sub-rectangle.
As an example, the maximal sub-rectangle of the array:

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
is in the lower left corner:

9 2
-4 1
-1 8
and has a sum of 15.

Input

The input consists of an N * N array of integers. The input begins with a single positive integer N on a line by itself, indicating the size of the square two-dimensional array. This is followed by N^2 integers separated by whitespace (spaces and newlines). These are the N^2 integers of the array, presented in row-major order. That is, all numbers in the first row, left to right, then all numbers in the second row, left to right, etc. N may be as large as 100. The numbers in the array will be in the range [-127,127].

Output

Output the sum of the maximal sub-rectangle.

Sample Input

4
0 -2 -7 0 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 -1

8  0 -2

Sample Output

Source

Greater New York 2001

题目大意：给一个n*n的整数矩阵，找出一个子矩阵使其和最大。

解题思路：• 该题其实就是最大连续和问题在二维空间上的推广。

• 先来看一下一维的最大连续和问题：

　　　　 ♣ 给出一个长度为n的序列A1,A2,A3.....An,求一个连续子序列Ai,Ai+1,....Aj使得元素总和最大。

　　　　　 ♥ 我们以temp[i]表示以Ai结尾的子段中的最大子段和。在已知temp[i]的情况下，求temp [i+1]的方法是：

如果temp[i]>0 temp [i+1]= temp[i]+ai(继续在前一个子段上加上ai),否则temp[i+1]=ai(不加上前面的子段);

也就是说状态转移方程：temp[i] = (temp[i-1]>0?temp[i-1]:0)+buf[i];

 1 int getMax(int buf[107],int n){
 2     int temp[107],max=n*(-127);
 3     memset(temp,0,sizeof(temp));
 4     for(int i=1;i<=n;i++){
 5         temp[i] = (temp[i-1]>0?temp[i-1]:0)+buf[i];
 6         if(max<temp[i])
 7             max=temp[i];
 8     }
 9     return max;
10 }//求n元素序列buf[]的最大连续和函数

• 对于本题可以暴力枚举i到j行，针对每一个i到j行的一列元素求和就将i到j行的2维情况转化为1维情况：如：

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 7

-1 8 0 -2

　　　　　取i=2,j=4,压缩为4（9 -4 -1），11（2 1 8），-10（-6 -4 0），7（2 7 -2）新的一维buf[]={4,11,-10,7},

然后求出buf[]的最大连续和就是2到4行范围内的最大矩阵的值。这样2层循环暴力所有i到j的情况取最大值即可！

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int rect[105][105];//2维矩阵
 4 int n,Max;;
 5 int buf[105];//中间1维矩阵
 6 int getMax(){
 7     int Temp[105],max=n*(-127);
 8     memset(Temp,0,sizeof(Temp));
 9     for(int i=1;i<=n;i++){
10         Temp[i]=(Temp[i-1]>0 ? Temp[i-1] : 0 )+buf[i];
11         if(max<Temp[i])
12             max=Temp[i];
13     }
14     return max;
15 }//求最大连续和
16 void read(){
17     for(int i=0;i<n;i++)
18         for(int j=0;j<n;j++)
19             cin>>rect[i][j];
20 }//读入
21 int solve(){
22     Max=-127*n;
23     for(int i=0;i<n;i++){
24         for(int j=i;j<n;j++){//2层循环暴力所有i到j组合
25             memset(buf,0,sizeof(buf));//压缩，2维变1维
26             for(int k=0;k<n;k++)
27                 for(int L=i;L<=j;L++)
28                     buf[k]+=rect[k][L];
29             int d=getMax();//获得最大连续和
30             if(d>Max)Max=d;//更新Max值
31         }
32     }
33     return Max;
34 }//2维变1维暴力
35 int main(){
36     while(cin>>n){
37         read();
38         solve();
39         cout<<Max<<'
';
40     }return 0;
41 }

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