题意
给定一个正整数序列 (a_1, a_2, cdots, a_n) ，求
(n le 5 imes 10^5, a_i le 10^9)
题解
对于这种求一段区间内所有子区间答案和的东西，我们常常可以考虑分治解决。
通常思路是这样的：
假设我们计算 ([l, r]) 这段区间的答案和。令 (displaystyle mid = lfloor frac{l + r}{2} floor) 。
我们分治计算全在 ([l, mid]) 以及 ([mid + 1, r]) 区间的答案。
然后计算跨过 (mid) 的区间的答案。也就是左端点在 ([l, mid]) 并且右端点在 ([mid + 1, r]) 中的区间。
最后所有区间答案加起来就行了，正确性是显而易见的，因为一个区间要么全在左边，要么全在右边，要么跨过中点。
接下来难点就在跨过区间的答案计算上。
通常的话我们可以枚举一个端点，快速计算另外一个端点的贡献。
首先可以从 (mid) 到 (l) 枚举这个区间的左端点 (x) ，令 ([x, mid]) 的最小值为 (a) ，最大值为 (b) 。
两个单调指针 (p,q) 从 (mid) 向右走（最多到 (r) ），分别指向使得 ([mid/x, i]) 最小值/最大值 为 (a) / (b) 的最大位置 (i) 。
我们把区间右端点 (y) 分三种情况讨论。
-
对于 (y in [mid + 1, min {p, q}]) 这一部分 (min = a, max = b) 。那么答案就是
[sum_{y=mid+1}^{ min {p, q}} (y - x + 1) imes a imes b ]这部分用高斯求和优化即可。
-
对于 (y in (min {p, q}, max {p, q}]) 这部分，会有两种情况，本质是一样的。
我们讨论 (p < q) 这种，那么答案就是
[sum_{y=min {p, q}+1}^{max {p, q}} (min_{k = mid}^{y} a_k) imes(y - x + 1) imes b ]我们可以考虑预处理 (displaystyle sum_{y=1}^{n} (min_{k = mid}^{y}a_k)~y) 以及 (displaystyle sum_{y=1}^{n} (min_{k = mid}^{y}a_k)) 就行了。那么每次计算就是前缀和相减，然后乘上系数就行了。
-
对于最后一部分 (y in (max {p, q}, r]) ，那么我们类似与上面那个式子处理
[sum_{y=max {p, q}+1}^{r} (min_{k = mid}^{y} a_k) (max_{k = mid}^{y} a_k) imes(y - x + 1) ]那么我们只需要考虑预处理 (displaystyle sum_{y=1}^{n}(min_{k = mid}^{y} a_k)(max_{k = mid}^{y} a_k)~y) 以及 (displaystyle sum_{y=1}^{n}(min_{k = mid}^{y} a_k)(max_{k = mid}^{y} a_k)) ，类似于上面那个式子前缀和相减就行了。
然后这样就可以做完了，每次操作只需要扫一遍区间，所以复杂度就是 (O(n log n)) 的。
总结
考虑所有子区间答案，或者所有点对的答案，可以尝试考虑分治。
然后继续考虑枚举一个端点，另外一个端点用一些特殊结构快速计算就行了。
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
using namespace std;
inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}
inline int read() {
int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
return x * fh;
}
void File() {
#ifdef zjp_shadow
freopen ("3745.in", "r", stdin);
freopen ("3745.out", "w", stdout);
#endif
}
const int N = 5e5 + 1e3, inf = 0x7f7f7f7f, Mod = 1e9;
int n, a[N]; int ans = 0;
int Sum(int l, int r) { return (1ll * (r - l + 1) * (r + l) / 2) % Mod; }
int SMM[N], SMMP[N], SMax[N], SMin[N], SMaxp[N], SMinp[N]; int Minv[N], Maxv[N];
// SumMaxMin SunMaxMinPos SumMax SumMin SumMaxPos SumMinpos MinVal MaxVal
inline int Add(int a, int b) {
return (a += b) >= Mod ? a - Mod : a;
}
void Solve(int l, int r) {
if (l == r) { ans = Add(ans, 1ll * a[l] * a[r] % Mod); return ; }
int mid = (l + r) >> 1; Solve(l, mid); Solve(mid + 1, r);
int p = mid, q = mid;
int minl = a[mid], maxl = a[mid];
SMM[mid] = SMMP[mid] = SMax[mid] = SMin[mid] = SMaxp[mid] = SMinp[mid] = 0;
For (i, mid + 1, r) {
if (i == mid + 1) {
Minv[i] = Maxv[i] = SMax[i] = SMin[i] = a[i];
SMinp[i] = SMaxp[i] = 1ll * a[i] * i % Mod;
SMM[i] = 1ll * a[i] * a[i] % Mod; SMMP[i] = 1ll * i * a[i] % Mod * a[i] % Mod;
continue ;
}
Minv[i] = min(a[i], Minv[i - 1]);
Maxv[i] = max(a[i], Maxv[i - 1]);
SMin[i] = Add(SMin[i - 1], Minv[i]);
SMax[i] = Add(SMax[i - 1], Maxv[i]);
SMinp[i] = Add(SMinp[i - 1], 1ll * Minv[i] * i % Mod);
SMaxp[i] = Add(SMaxp[i - 1], 1ll * Maxv[i] * i % Mod);
SMM[i] = Add(SMM[i - 1], 1ll * Minv[i] * Maxv[i] % Mod);
SMMP[i] = Add(SMMP[i - 1], 1ll * i * Minv[i] % Mod * Maxv[i] % Mod);
}
Fordown (i, mid, l) {
chkmin(minl, a[i]); chkmax(maxl, a[i]);
while (p < r && Minv[p + 1] >= minl) ++ p;
while (q < r && Maxv[q + 1] <= maxl) ++ q;
int gapl = min(p, q), gapr = max(p, q);
ans = Add(ans, 1ll * Sum(mid - i + 2, gapl - i + 1) * minl % Mod * maxl % Mod);
if (p < q) ans = Add(ans, (((SMinp[q] - SMinp[p]) - 1ll * (SMin[q] - SMin[p]) * (i - 1)) % Mod + Mod) * maxl % Mod);
if (p > q) ans = Add(ans, (((SMaxp[p] - SMaxp[q]) - 1ll * (SMax[p] - SMax[q]) * (i - 1)) % Mod + Mod) * minl % Mod);
ans = Add(ans, (((SMMP[r] - SMMP[gapr]) - 1ll * (SMM[r] - SMM[gapr]) * (i - 1)) % Mod + Mod) % Mod);
}
}
int main () {
File();
n = read(); For (i, 1, n) a[i] = read();
Solve(1, n);
printf ("%d
", ans);
return 0;
}