确界存在 ⇒ 有限覆盖
([a, b]) 被 ({I_lambda}) 覆盖，对于 (forall S subset {I_lambda}) 使得 (S) 有限，覆盖 (a) （这样的 (S) 总能找到）
定义 (B = {y in [a, b] ~|~ [a, y] 被有限 S subset I_lambda 覆盖}) (B) 有界，故有上确界。
下证 (b = sup B) 。
反证法：设上确界为 (y_0 < b) ，则 (exist I_{lambda_0}) 使得 (y_0 in I_{lambda_0}) 。
故 (exist varepsilon_0) 使得 ((y_0 - varepsilon_0, y_0 + varepsilon_0) subset I_{lambda_0}) 。
(ecause) (y_0) 是上确界则 (exist y in B) 使 (y_0 - y < frac {varepsilon_0}{2})
( herefore) (exist) 有限 (S) 覆盖 ([a, y_0]) 则 (S cup I_{lambda_0}) 覆盖 ([a, y_0 + frac{varepsilon_0} 2 ])
( herefore) (b) 为上确界 则 (exist I_{lambda_0}) 使得 ((b - varepsilon, b + varepsilon) subset I_{lambda_0})
(exist S') 覆盖 ([a, y_0]) 有 ([a, b] subset S' cup {I_{lambda_0}}) 。
问题1.9 B-W ⇒ 有限覆盖
问题 1.8.5 闭区间套 ⇒ B-W
设 ({x_0} subset [a, b]) 二分 ([a, b]) 取包含无限 ({x_n}) 的一半为 ([a_1, b_1]) 令某个 (x_{n_1} in [a_1, b_1]) 再二分 ([a_1, b_1]) 。
由此得到一列 ([a_1, b_1] supset [a_2, b_2] supset cdots supset [a_k, b_k] supset cdots) 以及 ({x_{n_k}}) 使得 (x_{n_k} in [a_k, b_k]) 则 (exist) 唯一 (x in [a_k, b_k])
有 (0 le |x_{n_k} - x| < b_k - a_k) ( herefore lim_{k o infty} (x_{n_k} - x) = 0)
有限覆盖 ⇒ 闭区间套
设 ([a_1, b_1] supset cdots supset [a_n, b_n] supset cdots) 且 (lim_{n o infty} |b_n - a_n| = 0) 假设 (igcap_{n=1}^infty [a_n, b_n] = empty)
构造 ((a_1 - varepsilon, a_n)) 和 ((b_n, b_1 + varepsilon)) 由假设 (forall x in [a_1, b_1]) ，
(exist n) 使得 (x otin [a_n, b_n]) 则 (x < a_n Rightarrow x in(a_1 - varepsilon, a_n)) 或 (x > b_n Rightarrow x in (b_n, b_1 + varepsilon))
故为 ([a_1, b_1]) 的开覆盖，则存在有限子覆盖。
( herefore) 可设为 ((a_1 - varepsilon, a_{i_1}), (a_2 - varepsilon, a_{i_2}), dots, (a_1 - varepsilon, a_{i_k})) 和 ((b_{j_1}, b_1 + varepsilon), dots, (b_{j_l}, b_1 + varepsilon))
取 (n > max{i_1, dots, i_k, b_{j_1}, dots, b_{j_k}})
则 (a_n, b_n) 也能被覆盖 但 (a_n ge a_{i_1}, dots, a_{i_k}) 与 (b_n le b_{j_1}, dots, b_{j_l}) 不能被覆盖。 矛盾。
有限覆盖 ⇒ 确界存在
反证法。设 (S) 有上界 (a) 且 (S otin empty) 但无上确界，取 (x in S) 则 (x le a) 考虑 ([x, a]) (forall y in [x, a]) 构建开区间。
当 (y) 为上界，由假设 (exist varepsilon_y > 0) 使得 (y - varepsilon_y) 也是上界。
令 (U_y = (y - varepsilon_y, y + varepsilon_y)) ，当 (y) 不是上界的时，(exist varepsilon > 0) 使得 (y + varepsilon) 也不是上界。
当 (y) 为上界，(exist varepsilon_y > 0) 使得 使得 (y + varepsilon_y) 也不是上界。
令 (U_y = (y - varepsilon_y, y + varepsilon_y))
( herefore {U_y ~|~ y in [x, a]}) 为 ([x, a]) 的开覆盖
( herefore) 有限子覆盖 ((a_1, b_1), dots, (a_n, b_n))
取所有是上界的 (a_i) 令其最小值为 (a_{i_0}) ，则 (a_{i_0}) 为上界，(a_{i_0} - varepsilon) 无法被 ({(a_i, b_i)|i为上界}) 覆盖，则 (exist (a_j, b_j)) 覆盖
(a_{i_0} - varepsilon) 而 (a_i) 不是上界，由构造 (b_j) 不是上界与 (a_{i_0} - varepsilon < b_j) 矛盾。
Cauchy收敛 ⇒ 闭区间套
(forall varepsilon > 0, exist N in mathbb N^+) 使得 (b_N - a_N < varepsilon)
(forall m, n > N, a_m a_n in [a_N, b_N]) 则 (|a_m - a_n| < varepsilon) ，则 ({a_n}) 是 ( ext{Cauchy}) 列 (exist) 极限
同理 (lim_{n o infty} b_n) 存在 且 (= lim_{n o infty} a_n) 则 ({a_n}) 递增 (lim_{n o infty} a_n ge a_n) 同理 (le b_n) 故 (in [a_n, b_n]) 。
唯一性 假设 (a < a') 均为极限，则 ([a, a'] subseteq [a_n, b_n]) (lim_{n o infty}(b_n - a_n) ge a' - a > 0) 矛盾