什么是枚举，百科上的解释：在数学和计算机科学理论中，一个集的枚举是列出某些有穷序列集的所有成员的程序，或者是一种特定类型对象的计数。这两种类型经常（但不总是）重叠。是一个被命名的整型常数的集合，枚举在日常生活中很常见，例如表示星期的SUNDAY、MONDAY、TUESDAY、WEDNESDAY、THURSDAY、FRIDAY、SATURDAY就是一个枚举。
简单的理解，枚举就是逐个尝试答案的一种问题求解策略。
平时我们解决问题有很好的方法，比如数学方法，用数学方法解决问题我们往往是找规律，推出公式。如果用公式直接能得到答案，那就基本上没有什么时间复杂度，所以数学方法是很高明的。
但是现实生活中有很多是没有规律可循的，我们只好用笨办法，就一个一个的试，去看看哪个是真实的答案。
例如：求小于N的最大素数。这种问题就找不到一个数学公式，使根据N就可以计算出这个素数。所以我们得判断N-1是不是素数？N-2是不是素数？……这样依次下去，判断N-i是不是素数。这就是所谓的枚举的思想。
下面例出几个问题。题目皆来自网络。
例一
公鸡每只五元，母鸡每只三元，小鸡三只一元，用一百元买一百只鸡，问公鸡，母鸡，小鸡各多少只？
利用枚举法解决该问题，以三种鸡的个数为枚举对象,分别设x,y,z，用三种鸡的总数 和买鸡钱的总数作为判定条件，穷举各种鸡的个数。
x + y + z = 100 5*x + 3*y + z/3 = 100
分析1
如果用解方程的方式解这道题需要进行多次猜解，计算机的一个优势就是计算速度特别暴力。因此我们用穷举法的方式来解题，需要 101^3 次猜解，但对于计算机来说，完全没问题。
程序1：
#include <stdio.h> int main() { int x, y, z; for( x=0; x <= 100; x++ ) for( y=0; y <= 100; y++ ) for( z=0; z <= 100; z++ ) { if( 5*x+3*y+z/3==100 && z%3==0 && x+y+z==100 ) { printf("公鸡 %2d 只，母鸡 %2d 只，小鸡 %2d 只 ", x, y, z); } } return 0; }
运行结果：
公鸡 0 只，母鸡 25 只，小鸡 75 只 公鸡 4 只，母鸡 18 只，小鸡 78 只 公鸡 8 只，母鸡 11 只，小鸡 81 只 公鸡 12 只，母鸡 4 只，小鸡 84 只
回看上面这个算法，我们使用了3层循环，时间复杂度为：o(n^3)，在实际生活中，这种复杂度的算法我们根本不会用。那么我们有没有可能继续优化这个算法呢？
分析2
我试着分析了初始式子，两个式子，三个未知数，我们应该可以确定每个未知数的定义域。于是我得到：
x <= 20; y <= 33; z <=99;
程序2：
#include <stdio.h> int main() { int x, y, z; for( x=0; x <= 20; x++ ) for( y=0; y <= 33; y++ ) for( z=0; z <= 99; z++ ) { if( 5*x+3*y+z/3==100 && z%3==0 && x+y+z==100 ) { printf("公鸡 %2d 只，母鸡 %2d 只，小鸡 %2d 只 ", x, y, z); } } return 0; }
这样虽然还是没有改变时间复杂度为：o(n^3)的情况，但是我们的运算次数从101^3缩小到了20*33*99次，大概减少了十五六倍的运算。
分析3
然后我再试着是否能用x,y来表示z以减少循环次数。
z = 100 - x - y;
程序3：
#include <stdio.h> int main() { int x, y, z; for( x=0; x <= 20; x++ ) for( y=0; y <= 33; y++ ) { z = 100 - x - y; if( 5*x+3*y+z/3==100 && z%3==0) { printf("公鸡 %2d 只，母鸡 %2d 只，小鸡 %2d 只 ", x, y, z); } } return 0; }
这次只用了两次循环，时间复杂度为：o(n^2)，直接少了个能级。而且该题中直接从上次的21*34*100变成了21*34，次数直接减少100倍。
分析4
初高中做题时，一般三元一次方程组，我们会选择消元来解题，那么这题我们能不能直接消去z呢。
x + y + z = 100 ①
5x + 3y + z/3 = 100 ②
3 * ①，得：
15x + 9y + z = 300 ③
联立②③，得：
（15x + 9y + z = 300） - （x + y + z = 100）推出 14x + 8y = 200
解得：y = 25 - (7/4)x ④
然后我们将④带入原式
y = 25 - (7/4)x 为了消除分母，我们设:x = 4k，则： x = 4k; y = 25 - 7k; z= 100 - x - y = 75 + 3k; 根据分析②：x <= 20 ,y <= 33,z <=99,且三者皆>=0 得：k=1,2,3
程序4：
#include <stdio.h> int main() { int x, y, z,k; for( k=0; k <= 3; k++ ) { x = 4 * k; y = 25 - 7 * k; z = 75 + 3 * k; printf("公鸡 %2d 只，母鸡 %2d 只，小鸡 %2d 只 ", x, y, z); } return 0; }
这样，我们一个循环就解决了这个问题。时间复杂度为：o(n)，该问题只需四次运算，同之前的101^2,21*34*100以及21*34，简单了无数倍。
所以我们在不得已使用枚举法时，也要尽量的减少程序的运行次数以提高效率。
例二
完美立方问题，问题描述：a^3 = b^3 + c^3 + d^3为完美立方等式。例如12^3 = 6^3 + 8^3 + 10^3。
编写一个程序，对任意的正整数N（N≤100），寻找所有的四元组（a,b,c,d），使得a^3 = b^3 + c^3 + d^3，其中a > 1，b,c,d≤N。
#include <stdio.h> int main() { int i,n,a,b,c,d; scanf("%d",&n);//输入正整数n for(a=2;a<=n;a++) for(b=2;b<=a-1;b++) for(c=b;c<=a-1;c++) for(d=c;d<=a-1;d++) if(a*a*a==b*b*b+c*c*c+d*d*d) printf("a=%d,b=%d,c=%d,d=%d ",a,b,c,d); return 0; }
对于这道题我们也是尽量减小b,c,d的取值范围来增快程序的运算速率。
运行结果：
24 a=6,b=3,c=4,d=5 a=12,b=6,c=8,d=10 a=18,b=2,c=12,d=16 a=18,b=9,c=12,d=15 a=19,b=3,c=10,d=18 a=20,b=7,c=14,d=17 a=24,b=12,c=16,d=20