【算法日记】4.递归和快速排序

递归

递归算法是把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题。然后递归调用函数（或过程）来表示问题的解。

1 def countdown(i):
2     print i
3     if i<=0:
4         return
5     else:
6         countdown(i-1)

输出
1
2
3
4
5

这个就是一个简单的递归算法

递归算法是一种直接或者间接地调用自身算法的过程。在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。

编写递归函数时，必须告诉它何时停止递归，正因为如此，每个递归函数都有两个部分：基线条件和递归条件，递归条件指的时函数调用自己，而基线条件则指是函数不再调用自己。跳出递归循环。

递归算法解决问题的特点：

(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。

(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。

(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算法设计程序。

(4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。所以一般不提倡用递归算法设计程序。

递归算法所体现的“重复”一般有三个要求：

一、是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)；

二、是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的输入)；

三、是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。

快速排序

快速排序用的就是分治法的原理，每次递归将问题的规模减小

 1 def quickSort(arr):
 2     if len(arr)<2:    # 基线条件，跳出循环
 3         return arr
 4     else:             # 递归条件
 5         pivot=arr[0]
 6         small=[i for i in arr[1:] if i<=pivot]
 7         big=[i for i in arr[1:] if i>pivot]
 8         return quickSort(small)+[pivot]+quickSort(big)
 9 
10 arr=[1,2,9,10,11,7,12,14,15,26,8,9,10,3]
11 res=quickSort(arr)
12 print res  #[1, 2, 3, 7, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 14, 15, 26]

原理：

1.选择基准值

2.将数组分成两个子数组，一个大于基准值的，一个小于基准值的

3.对这两个数组重复1,2步骤

4.数组为空或者只有一个的时候跳出递归

快速排序算法分析

快速排序的大O

快速排序的性能高度依赖与选择的基准值

最糟糕的情况

例如对于一个有序数组 [1,2,3,4,5]，每次选择第一个元素作为基准值，运行情况为

[ ] +1+[2,3,4,5]

[ ] +2+[3,4,5]

[ ] +3+[4,5]

[ ] +4+[5]

因为每次用基准值分割数组的时候没有将数组分成两半，递归的调用栈为O(n)

最好的情况,每次将数组分成两半

[1,2,3,4,5,6,7]

[1,2,3]+4+[5,6,7]

[1]+2+[3]+4+[5]+6+[7]

这种情况下的调用栈长为 O(log n)

所以快速排序的算法时间为：

最糟糕的情况下：O(n)*O(n)=O(n²)

最好的情况下：O(n)*O(log n)=O(n log n)