2014.07.08 00:08
简介：
本章里没有讲到这个内容，是我在看书的时候回忆起了自己被问过的一道面试题。当时觉得特别难，现在回想起来才知道是自己无知。
如果有50颗石子，两人轮流拿。每次可以从其中拿走1,2,4或者8颗。谁拿走了最后一颗，谁就输了（输或者赢根本无所谓）。
请问，先手或者后手有什么必胜策略吗？
描述：
如果你是参加过ACM训练的人，肯定觉得小儿科，于是你可以不用看了。
但对于我这样的外行，在听到这道题目的时候，脑子里一片混乱，甚至打算在草稿纸上硬推出一个结果。
作为一个软件工程师，如果你在面试的时候以求出正确答案为傲，那么你就错了。因为人家期望的是你要么用理论解释答案，要么用代码解决问题。
至于具体答案是几？Don’t care。
巴什博弈几乎是博弈问题里最简单的一种了：给定n颗石头，俩人轮流拿走石头，如果每次拿走1~m颗石头的话，谁必胜或者必败呢？
这些问题有共同点，有不同点。而当你遇到陌生问题的时候，要做的肯定不是用无数脑细胞和人肉计算来得到一个答案，而是用你已有的理论和工具来分析问题。
我们学过些什么呢？博弈论我肯定不懂了，我就懂一点动态规划的基本知识。
于是有了下面几条思路：
1. 不论是{1,2,4,8}还是1~m，我至少有选择的余地。我可以决定下一步怎么走。
2. 我为什么会输？因为我不论选择哪一步，都是输。我为自己的利益着想，自然是不得已才会输。
3. 我为什么会赢？因为我至少能找到一步，让我赢。我为自己的利益着想，能赢我一定会赢。
4. 那么n=50的时候，我到底能不能赢？
于是动态规划就来了，dp[n]表示n个石头的情况下的游戏结果。
dp[n]和谁有关？必然是dp[n-1]、dp[n-2]、dp[n-4]、dp[n-8]，因为可选的操作只有{1,2,4,8}。
我们用-1表示对手赢，+1表示我赢，0表示未知(也就是公平竞争，没有人必胜或者必败)。
如果dp[n-1]、dp[n-2]、dp[n-4]、dp[n-8]全都是+1，表示前一步都是我赢。那么不论我拿走几颗石头到达n，我都是输。（我不想输，所以我是迫不得已的）
如果dp[n-1]、dp[n-2]、dp[n-4]、dp[n-8]至少有一个是-1，表示前一步有可能是对手赢。那么我会选择对手赢的那条路，因为那样我能赢。（只要能赢，我就会赢）
而对于结果为0的情况，不作讨论。
这种由“与”和“或”构成的递推关系式，就是动态规划的关键了。
尽管这种动态规划的思路写成代码后效率并不高，但思想却很重要。后来我查阅了资料才发现这种动态规划的思想就是“博弈树”。
此外，这个问题虽然是我临时想起来的，但作为一种博弈问题，自然也会和本章的Min-Max策略发生关联。接下来的一篇博文会进行介绍。
下面的代码给出了这种拿石头问题的程序解法，与其在草稿纸上硬算，不如把代码写给面试官看。既然是码农，自然应该用代码说话了。
实现：
1 // This is said to be an interview question about game. 2 // This solution is by dynamic programming. 3 // Description: 4 // If there're 50 stones at the beginning, you and your component take turns to take away 1, 2, 4 or 8 stones. 5 // Whoever takes away the last stone loses the game. 6 // Does this game has a winning strategy for any side? 7 #include <algorithm> 8 #include <iostream> 9 #include <vector> 10 using namespace std; 11 12 void game(const int n, const vector<int> &move, vector<int> &dp) 13 { 14 int i; 15 // dp[i] means the game result when the total number of stones is i. 16 // 1 for offensive win, -1 for defensive win, 0 for uncertain(fair play). 17 dp.resize(n + 1, 0); 18 19 int n_move = (int)move.size(); 20 int n_win; 21 dp[move[0]] = -1; 22 23 int j; 24 for (i = move[0] + 1; i <= n; ++i) { 25 n_win = 0; 26 for (j = 0; j < n_move; ++j) { 27 if (i - move[j] <= 0) { 28 ++n_win; 29 continue; 30 } 31 if (dp[i - move[j]] == -1) { 32 // one of the parent node in the game tree is lose, 33 // then you win. 34 dp[i] = 1; 35 break; 36 } else if (dp[i - move[j]] == 1) { 37 ++n_win; 38 } 39 } 40 if (j == n_move && n_win == n_move) { 41 // all parent nodes in the game tree are wins, then you lose 42 dp[i] = -1; 43 } 44 } 45 } 46 47 int main() 48 { 49 vector<int> dp; 50 vector<int> move; 51 int n; 52 int i; 53 int tmp; 54 55 while (cin >> n && n > 0) { 56 while (cin >> tmp && tmp > 0) { 57 move.push_back(tmp); 58 } 59 game(n, move, dp); 60 sort(move.begin(), move.end()); 61 for (i = 1; i <= n; ++i) { 62 cout << i << ':'; 63 switch(dp[i]) { 64 case -1: 65 cout << "Defensive win." << endl; 66 break; 67 case 0: 68 cout << "Fair play." << endl; 69 break; 70 case 1: 71 cout << "Offensive win." << endl; 72 break; 73 } 74 } 75 76 dp.clear(); 77 move.clear(); 78 } 79 80 return 0; 81 }