《数据结构与算法分析：C语言描述》复习——第十章“算法设计技巧”——矩阵连乘问题

2014.07.07 15:47

简介：

　　给定N个矩阵，A₁、A₂、...、A_n，如果相邻矩阵的维度都满足相乘条件，如何组织这n-1次乘法的顺序，使得总共的乘法次数最少？

描述：

　　根据矩阵乘法的定义，如果矩阵X的维度是aXb，矩阵Y的维度是bXc。那么XY相乘需要的乘法次数是aXbXc。

　　这道题目是典型的动态规划问题。从使用者的角度来看，动态规划问题通常的应用情景主要有两个特点：

　　　　1. 暴力搜索能够得出答案，但速度实在太慢。如果用空间换时间，记录一些中间状态的话，可以极大程度地降低复杂度，减少重复计算。

　　　　2. 贪婪思路无法得出正确答案，所以尽管贪婪思路的代码通常很简洁，思路清晰，但既然不能解决问题，也就不能用了。

　　最常见的动态规划问题的描述一般都像这样：“用X维数组dp表示能得到的最优XXX，dp[i][j][k]...表示第i步时第j段时...的最优解。”

　　这样描述的特点，就是不论描述起来有多么冗长和复杂，基本思路都是把一整个问题分解为若干维度，每个维度分解为多步。每一次推导，只是走有限步。如果每次走s步，那么就会保证有s个初始状态，这样能够保证每一个状态的解都能被计算出。这个解一定是最优解。而同样的问题使用贪婪策略通常只能得到接近最优解的次优解。

　　分治法用递归的方法分解子问题，然后通过合并子问题来解决整体问题。动态规划则使用递推公式从当前状态推导下一状态。

　　比如下面这个式子：dp[i][j]=min(dp[i][j-1], dp[i-1][j])+1。我只是随手写了这个式子，而动态规划的递推公式通常都是dp[i]与dp[i-1]之间的关系式，或者有更多维度。而我们所期待的最终答案很可能就是dp[n][m]或者dp[n][n]。而dp[0][0]则是我们推导的起点，通常是已知的（有时你必须动动脑子才能想清楚这个已知值到底是几）。

　　于是，动态规划的起点、终点、中间状态、递推公式、维度等等概念大概是这么回事：

　　　　1. 维度：你要用一个几维数组来表示你的最优解呢？例如求出一个字符串中回文字串的个数，你可以用dp[i][j]表示字符串s[i,j]中所有回文子串的个数。这就是二维动态规划。

　　　　2. 起点：你开始递推之前，必须得知道dp[0]、dp[0][0]之类的等于几。这个过程有时会花很久，有时则是一念之间的事。

　　　　3. 中间状态：dp[i][j]代表什么？问题不同意义自然不同。总之它是一个中间状态，你必须很清楚它的意义。

　　　　4. 递推公式：从dp[i-1][j]、dp[i-1][j-1]、dp[i][j-1]如何推导出dp[i][j]呢？用递推公式。递推公式怎么得出的？用你的草稿纸和笔，这就是脑细胞的用武之地了。

　　　　5. 终点：dp[n]、dp[n][m]、dp[n][m][p]等等。不论n、m、p等等字母代表什么，终点在哪儿肯定是一开始就确定的。这个不成问题。

　　最后，用三句话解决矩阵连乘问题：

　　　　1. 用dp[i][j]表示i号矩阵连乘到j号矩阵为止需要的最少乘法次数。

　　　　2. dp[0][n-1]是我们需要的最终结果。

　　　　3. 递推公式请直接看代码。

实现：

// Ordering matrix multiplication, a typical dynamic programming problem.
//    Description:
//        You have a list of matrices M1, M2, ..., Mn to multiply.
//        Each with dimension (X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn)
//        Of course, Yi == X(i + 1)
//        You can arrange the order of matrix multiplications, 
//            to achieve minimal number of multiplications.
//        For example: A * B * C can be A * (B * C) or (A * B) * C, 
//            they might require different number of multiplications.
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int INF = 1000000000;

int orderingMatrixMultiplication(const vector<int> &dimension)
{
    int n = (int)dimension.size() - 1;
    vector<vector<int> > dp;
    
    dp.resize(n, vector<int>(n, INF));
    
    int i, j, k;
    
    for (i = 0; i < n; ++i) {
        dp[i][i] = 0;
    }
    
    for (i = 1; i < n; ++i) {
        for (j = 0; j + i < n; ++j) {
            for (k = j; k < j + i; ++k) {
                dp[j][j + i] = min(dp[j][j + i], dp[j][k] + dp[k + 1][j + i]
                    + dimension[j] * dimension[k + 1] * dimension[j + i + 1]);
            }
        }
    }
    
    int result = dp[0][n - 1];
    dp.clear();
    
    return result;
}

int main()
{
    int i;
    int n;
    vector<int> v;
    
    while (cin >> n && n > 0) {
        v.resize(n + 1);
        for (i = 0; i < n + 1; ++i) {
            cin >> v[i];
        }
        cout << orderingMatrixMultiplication(v) << endl;
    }
    
    return 0;
}