将学习到什么
矩阵 (A) 与 (dfrac{1}{2}(A+A^T)) 两者生成相同的二次型，而后面那个矩阵是对称的，这样以来，为了研究实的或者复的二次型，就只需要研究由对称矩阵生成的二次型.
基本概念
定义1： 矩阵 (A=[a_{ij}] in M_n) 称为 Hermite 的，如果 (A=A^*)；它是斜 Hermite 的，如果 (A=-A^*).
对于 (A,B in M_n)，可得出很多简单明了的结论：
(1) (A+A^*), (AA^*) 以及 (A^*A) 都是 Hermite 的
(2) 如果 (A) 是 Hermite 的，那么对所有 (k=1,2,3,cdots), (A^k) 都是 Hermite 的. 如果 (A) 还是非奇异的，那么 (A^{-1}) 是 Hermite 的
(3) (A-A^*) 是斜 Hermite 的
(4) 如果 (A) 是 Hermite 的，那么 (mathrm{i}A) 是斜 Hermite 的；如果 (A) 是斜 Hermite 的，那么 (mathrm{i}A) 是 Hermite 的
(5) (A=dfrac{1}{2}(A+A^*)+dfrac{1}{2}(A-A^*)=H(A)+S(A)=H(A)+mathrm{i}K(A)), 其中 (H(A)=dfrac{1}{2}(A+A^*)) 是 (A) 的 Hermite 部分，(S(A)=dfrac{1}{2}(A-A^*)) 是 (A) 的 斜 Hermite 部分，而 (K(A)=dfrac{1}{2mathrm{i}}(A-A^*))
(6) 如果 (A=C+mathrm{i}D), 其中 (C,D in M_n(mathbb{R}))（(A) 的实部与虚部），那么 (A) 是 Hermite 的，当且仅当 (C) 是对称的，且 (D) 是斜对称的
(7) 实对称矩阵是复的 Hermite 矩阵
定理1：（Toeplitz 分解） 每个 (Ain M_n) 都可以用唯一的方式写成 (A=H+mathrm{i}K), 其中 (H) 与 (K) 两者都是 Hermite 矩阵. 它还可以用唯一的方式写成 (A=H+S)，其中 (H) 是 Hermite 的，且 (S) 是斜 Hermite 的
证明：由上述结论中第 (5) 条即可得出. 至于唯一性，如果令 (A=E+mathrm{i}F), 其中 (E) 与 (F) 皆为 Hermite 的，那么
egin{align}
2H=A+A^*=(E+mathrm{i}F)+(E+mathrm{i}F)^*=E+mathrm{i}F+E^*-mathrm{i}F^*=2E
end{align}
所以 (E=H). 类似地有 (F=K).
前述结论提示我们，诚如每个复数 (z) 可以唯一地写成 (z=s+mathrm{i} t) 一样（其中 (s,t in mathbb{R})）, 每一个复矩阵也可以用唯一的方式写成 (A=H+mathrm{i}K)（其中 (H) 与 (K) 是 Hermite 矩阵）. 还有一些进一步的性质强化了这种类似.
定理2： 设 (Ain M_n) 是 Hermite 的. 那么
(a) (x^*Ax) 对所有 (x in mathbb{C}^n) 都是实的.
(b) (A) 的特征值都是实的
(c) 对所有 (S in M_n), (S^*AS) 都是 Hermite 的
定理3： 设给定 (A=[a_{ij}]in M_n). 那么 (A) 是 Hermite 的，当且仅当以下诸条件中至少一条满足：
(a) 对所有 (x in mathbb{C}^n), (x^*Ax) 都是实的
(b) (A) 是正规的且有实的特征值
(c) 对所有 (S in M_n), (S^*AS) 都是 Hermite 的
证明：必要性由定理 2 说明，只需证明充分性。
(a) 如果对所有 (x in mathbb{C}^n), (x^*Ax) 都是实的，那么对所有 $x,yin mathbb{C}^n $, ((x+y)^*A(x+y)=(x^*Ax+y^*Ay)+(x^*Ay+y^*Ax)) 是实的. 由于根据假设 (x^*Ax) 与 (y^*Ay) 是实的，我们就断定：对所有 $x,yin mathbb{C}^n $, (x^*Ay+y^*Ax) 是实的. 如果我们选取 (x=e_k) 以及 (y=e_j), 那么 (x^*Ay+y^*Ax=a_{kj}+a_{jk}) 是实的，所以 (mathrm{Im} \,a_{kj}=-mathrm{Im} \,a_{jk}). 如果我们选取 (x=mathrm{i} e_k) 以及 (y=e_j), 那么 (x^*Ay+y^*Ax=-mathrm{i}a_{kj}+mathrm{i}a_{jk}) 是实的，所以 (mathrm{Re} \,a_{kj}=mathrm{Re} \,a_{jk}). 所以 (a_{kj}=ar{a}_{jk}), 又因为 (j,k) 是任意的，我们就得出结论 (A=A^*).
(b) 如果 (A) 是正规的，那么可以酉对角化，所以 (A=ULambda U^*), 其中 (Lambda=mathrm{diag}(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n)). 一般来说，我们有 (A^*=Uar{Lambda} U^*), 但如果 (Lambda) 是实的，我们就有 (A^*=ULambda U^*=A).
(c) 条件 (c) 蕴含 (A) 是 Hermite 的（选取 (S=I)）
由于 Hermite 矩阵都是正规的，所以有关正规矩阵的所有结果都适用于 Hermite 矩阵. 例如，与不同特征值相伴的特征向量是正交的，存在一组由特征向量组成的标准正交基以及 Hermite 矩阵可以酉对角化.下面复述关于 Hermite 矩阵的谱定理.
定理4： 矩阵 (A in M_n) 是 Hermite 的，当且仅当存在一个酉矩阵 (U in M_n) 以及一个实的对角矩阵 (Lambda in M_n), 使得 (A=ULambda U^*). 此外， (A) 是实的 Hermite 矩阵（即实对称矩阵），当且仅当存在一个实正交矩阵 (P in M_n) 以及一个实对角矩阵 (Lambda in M_n), 使得 (A=PLambda P^T).
尽管 Hermite 矩阵的实线性组合恒为 Hermite 矩阵，但是 Hermite 矩阵的复线性组合不一定是 Hermite 矩阵. 此外，如果 (A) 与 (B) 是 Hermite 矩阵，那么 ((AB)^*=B^*A^*=BA), 所以 (AB) 是 Hermite 矩阵，当且仅当 (A) 与 (B) 可交换.
关于可交换的 Hermite 矩阵的一个最有名的结果如下：
定理5： 设 (mathcal{F}) 是一个给定的非空的 Hermite 矩阵族. 则存在一个酉矩阵 (U) 使得对所有 (A in mathcal{F}), (UAU^*) 都是对角矩阵的充分必要条件是，对所有 (A,B in mathcal{F}) 都有 (AB=BA).
推广
对于 Hermite 矩阵 (A) 有 (A=A^*), 推广这一概念的一种方法是考虑使得 (A) 相似于 (A^*) 的矩阵类. 如下的定理拓广了推论1，并用若干种方式刻画了这个矩阵类的特征.
定理6： 设给定 (A in M_n), 则如下诸命题等价：
(a) (A) 与一个实矩阵相似
(b) (A) 与 (A^*) 相似
(c) (A) 通过一个 Hermite 相似变换与 (A^*) 相似
(d) (A=HK), 其中 (H,K in M_n) 是 Hermite 矩阵，且至少有一个因子是非奇异的
(e) (A=HK), 其中 (H,K in M_n) 是 Hermite 矩阵
证明：首先注意 (a) 与 (b) 是等价的：每一个复矩阵都与它的转置相似，所以，(A) 相似于 (A^*=ar{A}^T) 当且仅当 (A) 相似于 (ar{A}), 当且仅当 (A) 相似于一个实矩阵.
为验证 (b) 蕴含 (c)，假设存在一个非奇异的 (S in M_n), 使得 (S^{-1}AS=A^*). 设 ( heta in mathbb{R}), 并令 (T=mathrm{e}^{mathrm{i} heta} S). 注意到 (T^{-1}AT=A^*), 这样一来，就有 (AT=TA^*) 或者 (AT^*=T^*A^*). 将这两个等式相加就得到 (A(T+T^*)=(T+T^*)A^*). 如果 (T+T^*) 是非奇异的，我们就能断言 (A) 与 (A^*) 通过 Hermite 矩阵 (T+T^*) 而相似，所以就只需要证明存在某个 ( heta), 使得 (T+T^*) 是非奇异的. 矩阵 (T+T^*) 是非奇异的，汉且仅当 (T^{-1}(T+T^*)=I+T^{-1}T^*) 是非奇异的，当且仅当 (-1
otin sigma(T^{-1}T^*)). 但是 (T^{-1}T^*=mathrm{e}^{-2mathrm{i} heta} S^{-1}S^*), 所以我们可以选取满足 (-mathrm{e}^{-2mathrm{i} heta}
otin sigma(S^{-1}S^*)) 的任何 ( heta).
现在假设 (c) 成立，并记 (R^{-1}AR=A^*), 其中 (R in M_n) 是非奇异的 Hermite 矩阵. 那么 (R^{-1}A=A^*R^{-1}) 且 (A=R(A^*R^{-1})). 但是 ((A^*R^{-1})^*=R^{-1}A=A^*R^{-1}), 所以 (A) 是两个 Hermite 矩阵 (R) 与 (A^*R^{-1}) 的乘积，且 (R) 是非奇异的.
如果 (A=HK), 其中 (H,K in M_n) 是 Hermite 矩阵，且 (H) 是非奇异的，那么 (H^{-1}AH=KH=(HK)^*=A^*). 如果 (K) 是非奇异的，则讨论类似. 于是 (d) 等价于 (b).
(d) 肯定蕴含 (e), 现在来证明 (c) 蕴含 (a). 如果 (A=HK), 其中 (H) 与 (K) 是 Hermite 矩阵且两者都是奇异的，考虑 (U^*AU=(U^*HU)(U^*KU)), 其中 (U in M_n) 是酉矩阵，(U^*HU=egin{bmatrix} D & 0\ 0 & 0 end{bmatrix}), 且 (D in M_k) 是非奇异的实对角矩阵. 与 (U^*HU) 共形地分划 (U^*KU=egin{bmatrix} K & igstar \ igstar & igstar end{bmatrix}), 并计算
egin{align}
U^*AU=(U^*HU)(U^*KU)= egin{bmatrix} D & 0\ 0 & 0 end{bmatrix} egin{bmatrix} K' & igstar \ igstar & igstar end{bmatrix}=egin{bmatrix} DK' & igstar \ 0 & 0 end{bmatrix}
otag
end{align}
分块 (DK' in M_k) 是两个 Hermite 矩阵的乘积，其中一个是非奇异的，所以 (d) 、(b) 以及 (a) 的等价性确保它与一个实矩阵相似. 现在先前推论告诉我们 (U^*AU)（从而 (A) 也） 与一个实矩阵相似.
定理 2 中的 (a) 可以通过考虑只取正（或者非负）值的 Hermite 型予以改进.
定理7： 设给定 (A in M_n), 那么对所有的 (x in mathbb{C}^n), (x^*Ax) 是正实数（(x^*Ax) 是非负实数）的充分必要条件是：(A) 是 Hermite 矩阵且它所有的特征值都是正的（非负的）.
证明： 必要性：定理 2 中的 (a) 已经确保 (A) 是 Hermite 矩阵，此外，假设 (mu in mathbb{C}^n) 是 (A) 的与特征值 (lambda) 相伴的特征向量，那么就有 (lambda =mu^*(lambda mu)=mu^* A mu), 由假设条件就知 (lambda >0)（或 (lambda geqslant 0)）. 充分性：如果 (A) 是 Hermite 矩阵，且只有正的（非负的）特征值，那么定理 4 就确保 (A=U Lambda U^*), 其中酉矩阵 (U=[u_1cdots u_n]) 的列是 (A) 的与 (Lambda=mathrm{diag}(lambda_1,cdots,lambda_n)) 的正的（非负的）对角元素相伴的特征向量. 这样 (x^*Ax=x^*ULambda U^*x=(U^*x)^*Lambda (U^*x)=sumlimits_{k=1}^n lambda_k lvert u_k^*x
vert ^2) 总是非负的；如果所有 (lambda_k>0) 且有某个 (mu_k^*
eq 0), 那么它是正的，而 (x
eq 0) 肯定就是这种情形.
定义2： 矩阵 (A in M_n) 是正定的，如果对于所有非零的 (x in mathbb{C}^n), (x^*Ax) 都是正实数；它是半正定的，如果对于所有非零的 (x in mathbb{C}^n), (x^*Ax) 都是非负实数；它是不定的，如果对于所有非零的 (x in mathbb{C}^n), (x^*Ax) 都是实数，且存在非零向量 (y,z in mathbb{C}^n), 使得 (y^*Ay <0 <z^*Az).
设 (A in M_n) 以及 (B=A^*A), 注意到 (x^*Bx= lVert Ax
Vert _2^2), 所以 (B) 是半正定的. 这表明：复矩阵是正定的（半定的），当且仅当它是 Hermite 的，且它所有的特征值都是正的（非负的）. 所以在定义 2 中，不需要事先假设 (A) 是 Hermite 的，但是对于实的矩阵以及它们所生成的实的二次型，情形就有所不同. 如果 (A in M_n(mathbb{R})) 且 (x in mathbb{C}^n), 那么 (x^TAx=dfrac {1}{2} x^T (A+A^T)), 所以，对所有的非零的 (x in mathbb{R}^n) 有 (X^TAx>0) 或者 (x^TAx geqslant 0) 这一假设仅仅是在 (A) 的对称部分上附加了一个条件，它的斜对称部分并未受到限制. 所以定义 2 实的情形的类似结果必须将一个对称性假设加入进去.
定理8： 设 (A in M_n(mathbb{R})) 是对称的. 那么对所有的非零的 (x in mathbb{C}^n), 有 (x^*Ax>0)（(x^*Ax geqslant 0)）, 当且仅当 (A) 的每一个特征值都是正的（非负的）.
证明： 由于 (A) 是 Hermite 的，故而只要证明下述结论就够了：只要 (z=x+mathrm{i}y in mathbb{C}^n), 其中 (x,y in mathbb{R}^n), 且 (x,y) 中至少一个不为零，就有 (z^*Az >0 (z^*Az geqslant 0)). 由于 ((y^TAx)^T=x^TAy), 我们有
egin{align}
z^*Az &=(x+mathrm{i}y)^*A(x+mathrm{i}y)=x^TAx+y^TAy+mathrm{i}(x^TAy-y^TAx)
otag \
&=x^TAx+y^TAy
otag
end{align}
它是正的（非负的），如果 (x) 与 (y) 至少一个不为零.
定义3： 矩阵 (A in M_n(mathbb{R})) 是正定的，如果对于所有非零的 (x in mathbb{R}^n), (x^TAx>0)；它是半正定的，如果对于所有非零的 (x in mathbb{R}^n), (x^TAx geqslant 0)；它是不定的，如果存在向量 (y,z in mathbb{R}^n), 使得 (y^TAy <0 <z^TAz).
显然如果半正定的矩阵是正定的，当且仅当它是非奇异的. 有关 Herimte 矩阵的最后一个一般性的结论是： (A in M_n) 是 Hermite 的，当且仅当它可以写成 (A=B-C), 其中 $B,C in M_n $ 是半正定的. 这一结论有一半是显然的，另一半则依赖于下面的定义.
定义4： 设 (A in M_n) 是 Hermite 矩阵，(lambda_1 geqslant cdots geqslant lambda_n) 是它的按照非增次序排列的特征值. 设 (Lambda=mathrm{diag}(lambda_1,cdots,lambda_n)), 又令 (U in M_n) 是酉矩阵，它使得 (A=U Lambda U^*). 设 (lambda_i^+=max {lambda_i,0}) 以及 (lambda_i^- =min {lambda_i,0})（两者都对 (i=1,cdots,n) 定义）. 设 (Lambda_+=mathrm{diag}(lambda_1^+,cdots,lambda_n^+)) 以及 (A_+=ULambda_+U^*), 令 (Lambda_-=mathrm{diag}(lambda_1^-,cdots,lambda_n^-)) 以及 (A_-=-ULambda_-U^*). 矩阵 (A_+) 称为 (A) 的半正定的部分.
命题1：设 (A in M_n) 是 Hermite 矩阵. 那么 (A=A_+-A_-), (A_+) 与 (A_-) 中的每一个都是半正定的，(A_+) 与 (A_-) 可交换，(mathrm{rank}\,A=mathrm{rank}\,A_+ + mathrm{rank}\,A_-), (A_+A_-=A_-A_+=0), 且 (A_-) 是 (-A) 的半正定部分.
应该晓得什么
- （Toeplitz 分解） 每个 (Ain M_n) 都可以用唯一的方式写成 (A=H+mathrm{i}K) 或 (A=H+S)
- Hermite 矩阵特征值是实的
- 对所有 (x in mathbb{C}^n), (x^*Ax) 是实的，等价于说 (A) 是 Hermite 的
- (A) 是正规的且有实特征值，则 (A) 是 Hermite 的