Codeforces Round #237 (Div. 2) C. Restore Graph（水构造）

题目大意

一个含有 n 个顶点的无向图，顶点编号为 1~n。给出一个距离数组：d[i] 表示顶点 i 距离图中某个定点的最短距离。这个图有个限制：每个点的度不能超过 k

现在，请构造一个这样的无向图，要求不能有自环，重边，且满足距离数组和度数限制，输出图中的边；如果无解，输出 -1

 

数据规模：1 ≤ k <  n ≤ 10⁵，0 ≤ d[i] < n

做法分析

第一眼做法：SPFA 或者 BFS，想了想，还是乱搞

根据 d 数组直接构造这个图，因为最短路具有最优子结构，所以，d[i] 为 0 的点只有一个，从 0 到 maxLen 的所有距离，都一定在 d 数组中出现过，然后就考虑度数限制。

显然，距离为 len + 1 的点是由距离为 len 的点到达的，于是，将所有的点按照距离分类。要尽量满足度数限制，每个点的度数就要尽量少，所以，距离相同的点之间不能有边。于是，构造出来的解中，所有的边 (u, v) 一定满足这样的性质：d[u] == d[v] + 1（假设 d[u] > d[v]），这让我想起了 ISAP 求最大流的 gap 优化

然后，怎么保证每个点都尽量满足度数限制呢？平均分配

将距离为 len + 1 的点平均分配到距离为 len 的点里面去，这样一定是最优的，如果这样都不满足度数限制，肯定无解了

参考代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100005;

int k, n, d[N];
vector <int> len[N];
vector < pair <int, int> > edge;

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 0; i <= n; i ++) len[i].clear();
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        scanf("%d", &d[i]);
        len[d[i]].push_back(i);
    }
    if (len[0].size() != 1) {
        printf("-1
");
        return 0;
    }
    int maxLen = n;
    for (; len[maxLen].size() == 0; maxLen --);
    for (int i = 0; i <= maxLen; i ++) {
        if (len[i].size() == 0) {
            printf("-1
");
            return 0;
        }
    }
    edge.clear();
    for (int i = 1; i <= maxLen; i ++) {
        int cnt1 = (int)len[i - 1].size();
        int cnt2 = (int)len[i].size();
        int cnt = cnt2 / cnt1 + (cnt2 % cnt1 != 0);
        if (cnt + (i - 1 != 0) > k) {
            printf("-1
");
            return 0;
        }
        for (int id1 = 0, id2 = 0; id1 < cnt1 && id2 < cnt2; id1 ++) {
            for (; id2 < (id1 + 1) * cnt && id2 < cnt2; id2 ++) {
                edge.push_back(make_pair(len[i - 1][id1], len[i][id2]));
            }
        }
    }
    int cnt = (int)edge.size();
    printf("%d
", cnt);
    for (int i = 0; i < cnt; i ++) {
        printf("%d %d
", edge[i].first, edge[i].second);
    }
    return 0;
}

题目链接

C. Restore Graph