[Leetcode][动态规划] 第931题 下降路径最小和

一、题目描述

给定一个方形整数数组 A，我们想要得到通过 A 的下降路径的最小和。

下降路径可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列。

示例：

输入：[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
输出：12
解释：
可能的下降路径有：

• [1,4,7], [1,4,8], [1,5,7], [1,5,8], [1,5,9]
• [2,4,7], [2,4,8], [2,5,7], [2,5,8], [2,5,9], [2,6,8], [2,6,9]
• [3,5,7], [3,5,8], [3,5,9], [3,6,8], [3,6,9]

和最小的下降路径是 [1,4,7]，所以答案是 12。

提示：

1. 1 <= A.length == A[0].length <= 100
2. -100 <= A[i][j] <= 100

二、题目解析

1）动态规划。状态定义：dp[i][j]代表从第1行开始到(i,j)的最小值
2）dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j+1])+A[i][j];注意边界条件
3）最终结果min(dp[n-1][j])
4）时间复杂度为n*n

三、代码实现

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& A) {
        int n = A.size();
        if (!n)return 0;
        vector<vector<int>>dp(n, vector<int>(n));
        int i, j;
        for (i = 0; i < n; ++i) {
            dp[0][i] = A[0][i];
        }
        for (i = 1; i < n; ++i) {
            for (j = 0; j < n; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (j > 0)
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1]);
                if (j < n - 1)
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j + 1]);
                dp[i][j] += A[i][j];
            }
        }
        int Min = INT_MAX;
        for (i = 0; i < n; ++i)
            Min = min(Min, dp[n - 1][i]);
        return Min;
    }
};