自己挖的坑，死也要往下跳（哭），下面看下重排在S变换中的应用吧
先看几个概念：
时频重排：可以有效的聚集时频能量，提高时频分辨率！
高低频定义：按照电气和电子工程师学会(IEEE)制定的频谱划分表，低频频率为30~300kHz，中频频率为300~3000kHz，高频频率为3~30MHz，频率范围在30~300MHz的为甚高频，在300~1000MHz的为特高频。相对于低频信号，高频信号变化非常快、有突变；低频信号变化缓慢、波形平滑；
微震信号：微震信号实际上是地震波，地震波都是连续频谱，什么频率成分都有的。反正都很低，几赫兹的量级，反正人耳听不到；
一、同步挤压变换及特点
1.1 同步挤压变换原理
一个时变信号
一般可以分为多个谐波函数的叠加，即
式中：
为第K个分量的瞬时振幅；
为第K个分量的瞬时相位；
为噪声或误差；
为分量数。
同步挤压变换是在其它时频变换（如STFT、CWT、ST）基础上，根据信号各组成分量的时频特征、压缩时频曲线，达到提高时间和空间分辨率的目的。本文应用的是基于连续小波变换的同步挤压法即SWT。
首先对信号
进行连续小波变换，得到小波系数
：
式中：
分别为尺度和平移因子；
为小波母函数；
为小波函数的共轭复数。根据帕塞瓦尔定理，式（2）在频率域的等价变换式为
式中：
为圆频率；
分别为
的傅里叶变换。通过式（3）就把时间域的卷积转化到频率域的乘积形式。
通过对小波系数求导可初步估计瞬时频率，即
这样就可以把时间-尺度平面（b,a）转化到时间-频率平面
。通过把在任一中心频率
附近区间
的值挤压到中心频率
上，获得同步挤压变换量值
，以达到提高分辨率的目的。由于
值均离散，
，同步挤压变量
可表示为
同步挤压小波变换的反变换为
其中
式中：
为小波函数共轭的傅里叶变换。通过反变换可从重构信号
，且同步挤压小波变换是一种正反无损变换。
1.2同步挤压变换原理特点
用合成信号的例子说明SWT的特点。同时，鉴于ST效果由于CWT，可把SWT结果与ST结果进行比较。合成信号
如图1实线所示。
它由3种不同频率的信号叠加而成：频率不变的10Hz和15Hz余弦信号分别为
和
，频率在30Hz震荡的余弦调频信号为
，这3种信号如图1所示。同时，对合成信号加入信噪比
为2db的高斯白噪声，加噪信号如图2虚线所示。其中信噪比的计算公式为
式中：
为纯信号；
为含噪信号。
对原信号
分别做ST和以morket为母函数的SWT，结果如图3(a),(b)所示。2种变换均能分出信号不同频率的3个分量，其中，ST结果在频率和时间方向上的能量团较宽、较模糊，与之相比，SWT能量团在频率和时间方向上更精细、更清晰。可见，SWT比ST具有更高的频率分辨率和时间分辨率，能够准确地给出信号的瞬时频率。对加噪后的信号
做同样处理，结果如图3(c),(d)所示，受噪声影响，2种变换结果都有一定程度的变化，ST结果种高频信号干扰较明显，而SWT结果中高频噪声能量弱。可见，SWT通过对CWT结果进行挤压，降低了随机噪声的能量，一定程度上压制了随机噪声。
SWT是一种可逆变换，即通过反变换可完全恢复原始信号。对图3(a),(b)中
的ST、SWT结果进行反变换，结果如图4(a)所示，恢复信号与原信号的误差很小，如图4(b)所示。在SWT时频图上，选取一定频带进行反变换，可以提取信号的各个分量。在图3(b)SWT时频图中，分别选取8~12、13~17和26~34Hz频段，进行反变换，结果如图1所示，较好地提取了信号
中10、15和30Hz的各分量。可见，通过SWT反变换，不仅可以较好地恢复原信号，还可以提取不同频率分量。
总结：SWT在时间域和频率域都有表征局部信息的能力，可实现微震信号的时频同步分析，且具有比其他常用时频变换方法更高的时间和频率分辨率。
二、同步挤压得S变换
小波变换是被广泛使用得信号时频分析得有效工具，但小波变换时频谱得分辨率达不到最优。最近提出得同步挤压变换以严格的数学推导为基础，通过对小波变换结果进行”挤压“和重排，能够获得更高分辨率的时频谱。由于小波变换难以较好地反应信号中的高频低振幅分量，使得基于小波变换的同步挤压变换也很难反应信号中的高频低振幅分量。相比之下，S变换能够较好的刻画信号中的高频低振幅分量，并能实现无损逆变换，但与小波变换一样，它的时频谱分辨率也达不到最优。为了提高S变换的分辨率，本文提出了同步挤压S变换，给出了同步挤压S变换的基本理论，推导出了同步挤压S变换及其逆变换的数学表达式，分别使用小波变换、S变换、同步挤压变换和同步挤压S变换对理论合成信号进行处理，结果表明，同步挤压S变换兼顾了S变换和同步挤压变换的优势，不仅能够极大的提高信号时频变换的分辨率，而且能够较好地反映信号中弱振幅分量的时频特征。
与小波变换相比，S变换的时频分辨率更高，变换结果不是小波变换的时间-尺度谱，而是更直观的时间-频率谱，且具有无损的可逆变换，特别是对于信号中的高频弱振幅分量有增强作用，更加适合对弱信号的检测和分析，借鉴同步挤压变换的定义，本文提出了同步挤压S变换（SSST），推导出了该变换及其逆变换的数学表达式，利用理论合成信号，比较了小波变换、S变换、同步挤压变换和同步挤压S变换的效果，说明了同步挤压S变换的优势
2.1同步挤压S变换及其逆变换
根据基于连续小波变换的同步挤压原理，本文定义和推导了同步挤压S变换，信号X(t)的S变换为
式中，
为频率，
为时间，
为时间轴位移参数，
为虚数单位，下标
表示该项信号
。将式（1）改写成
令
，式（2）可表示为
其中
为函数
的复共轭。根据帕塞瓦尔定理（时频域能量相等）以及傅里叶变换性质中关于尺度变换和平移的规则，式（3）可以写为
式中，
是信号
的傅里叶变换，
表示
的傅里叶变换的复共轭。
先考虑信号为谐波的情况，取
则
把式（5）带入式（4）得
由于
因此信号
得瞬时频率为
显然，对于形如
得单分量信号，由上式可得
对于更一般的多分量信号
，且满足
，
这里
表示
的导数。由于S变换是线性变换，因此多分量信号
的S变换结果可以表示为
个分量
的S变换之叠加，即
且
各个单分量
的瞬时频率都可以由式（7）表示为
那么，多分量信号
的瞬时频率可表示为
其中，
为冲激函数，类似于同步挤压变换，为便于算法实现，将对频率区间的积分写成求和的形式，定义信号
的同步挤压S变换为
其中，
是同步挤压变换后的频率，
是在S变换谱上以
为中心的频率区间半长度，
为S变换频谱上频率区间的离散化频率样点，且
。该式表示把S变换谱上的频率区间
内的时频谱进行叠加放在频率
处，即，把一个频率区间的S变换时频谱”挤压“到一个频率点上，从而使同步挤压S变换极大的提高了S变换的频率分辨率。原同步挤压变换是把一定频率范围内的小波变换系数进行叠加，而我们在式（13）中取S变换结果的绝对幅值，这样做的目的是避免在”挤压“过程中可能存在的正负数字相加而导致的能量损失（实际上是不会出现负值的），改善挤压变换效果。
下面推导同步挤压S变换的逆变换表达式，信号
的S变换可以写为
令
，利用式（14），则式（13）可写成
式（4）两边同时对
积分，并进行变量替换，可以得到
令
由上式得
由于信号
为是信号，因此，上式取实部得
把上式右端离散化，结合式（13）得到同步挤压S变换得逆变换表达式为
用该逆变换式可以由同步挤压S变换结果重构原信号。
由于S变换和小波变换得表达式不同，本文对瞬时频率以及重构公式都作了重新定义。同步挤压S变换结果得时间和频率都是线性分布的，这样的时频图更有利于人们的理解和分析。而基于小波变换的同步挤压变换使用的尺度a是2的指数函数，即
，其中
是一个自定义的整数，用来决定尺度的个数，根据尺度和频率之间的转换关系：
（
是采样频率，
为母小波中心频率），当把尺度转换为频率时，得到的频率显然不是线性分布的。如果想得到频率线性分布的同步挤压变换结果，就必须采用特殊分布的尺度序列。
3、合成信号实验
为了说明同步挤压S变换的优势，分别用小波变换、S便呼喊、同步挤压变换和同步挤压S变换对一段理论合成信号进行了处理，合成信号
由3个调频、调幅信号
和
组成，他们的数学表达式分别为：
其中，
为
白噪声，信号的时间变换范围取为
，为了构造低幅度的高频信号分量，将个分量的幅度设成与频率成反比，即频率相对较高的分量，幅值就相对低。分量
成正弦变化，频率最低，幅值最高，最大值为2.2；
的频率随着时间增加而逐渐变大，幅值随着频率升高而之间减小，并小于
的幅值；
的幅值为最小且不随时间变换，频率也为定值，并大于
的频率。这3个分量的时域波形如图
所示
他们随时间 的变化规律各不相同，他们的合成信号
如图1（d）所示，其幅度和频率都随时间而变化
对合成信号
分别进行小波变换，S变换，同步挤压变换和同步挤压S变换。在作小波变换和同步挤压变换时，我们选取的母小波为Moorlet小波，为了便于对这4种变换结果的比较，将变换结果的纵坐标都变换成线性化的频率。图2是4种变换的时频图，
可以看出，在小波变换和S变换的时频图上，信号能量被模糊化，分布在包含真实频率上的某个范围内；而在同步挤压变换和同步挤压S变换的时频图上，由于对小波变换和S变换的能量进行了”挤压“，把原本模糊化的信号能量重新归位到实际频率处，极大地提高了时频变换的频率分辨率。相对于
的能量较弱频率较高，在小波变换和同步挤压变换的时频图几乎几乎难以反应出来，但在S变换和同步挤压S变换的时频图上，
分量被很清晰的反映出来，且同步挤压S变换比S变换具有明显高的分辨率。可见，同步挤压变换最然提高了时频变换的分辨率，但对高频弱振幅信号分量反映不好；S变换虽然对强振幅和弱振幅信号分量都有较好的反映，但时频分辨率不高；而同步挤压S变换既提高了时频变换的分辨率，又同时对强振幅信号分量都有较好的反映。
图3给出了利用同步挤压S变换结果对原合成信号进行重构的结果，
其中，图3（a）是重构信号与原信号的比较，图3（b）是重构误差。可以看出，利用式（19）的逆变换公式，可以对信号同步挤压S变换结果进行反变换，重构原信号，在噪声存在的情况下，重构误差很小。
结论：
本文提出了同步挤压S变换，推导出了该变换及其逆变换的数学表达式。同步挤压S变换兼顾了S变换和同步挤压变换的优势，与S变换和小波变换相比，极大的提高了时频变换的分辨率；与小波变换和同步挤压变换相比，能够较好地反映信号种高频弱振幅分量的时频特征。