Bridging signals---hdu1950（最长上升子序列复杂度n*log(n) ）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1950

一直只知道有除n*n的算法之外的求LIS，但是没学过，也没见过，今天终于学了一下，dp[i]表示以a[i]为末尾的最长上升子序列的长度；

其实就是下面大神写的这样：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
#define N 41000
int a[N], b[N];
int BiSearch(int x, int L, int R)
{
    while(L<=R)
    {
        int mid = (L + R) >> 1;
        if(x > b[mid])
            L = mid+1;
        else
            R = mid-1;
    }
    return L;
}
int main()
{
    int T, n;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d", &n);
        for(int i=0; i<n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);

        b[0]=a[0];
        int len=1;
        for(int i=1; i<n; i++)
        {
            if(a[i]>b[len-1])
                b[len++]=a[i];
            else
            {
                int pos = BiSearch(a[i], 0, len-1);
                ///二分找到b数组中第一个大于等于a[i]的位置的下标；
                ///或者用c++中的函数pos=lower_bound(a[i], b, b+len-1)-ans;
                b[pos] = a[i];
            }
        }
        printf("%d
", len);
    }
    return 0;
}

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源于算法书上的想法：其实都差不多；

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;

#define N 41100
#define MOD 1000000007
#define met(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define INF 0x3f3f3f3f

typedef long long LL;

int n, m, a[N], dp[N];
///dp[i] 表示长度为i的上升子序列中末尾元素的最小值；
int Binary_Search(int x, int a[], int L, int R)
{
    while(L<=R)
    {
        int Mid = (L+R)/2;
        if(a[Mid] < x) L = Mid+1;
        else R = Mid-1;
    }
    return L;
}
int main()
{
    int T;

    scanf("%d", &T);

    while(T--)
    {
        met(dp, INF);

        scanf("%d", &n);

        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);

        int ans = 0;

        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            int pos = Binary_Search(a[i], dp, 1, n);

            dp[pos] = a[i];

            ans = max(ans, pos);
        }
        printf("%d
", ans);
    }
    return 0;
}

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里面的那个应该是pos=lower_bound(a, a+n, x)-a;///求x在a数组中的位置；

最长递增子序列，Longest Increasing Subsequence 下面我们简记为 LIS。
排序+LCS算法以及 DP算法就忽略了，这两个太容易理解了。

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。n
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！