计算指数函数的算法

引言

我在上一篇随笔中介绍了计算自然对数的高速算法。如今我们来看看计算指数函数的算法。我们知道。指数函数 e^x 能够展开为泰勒级数：

$exp$

这个级数对全体实数 x 都收敛，而且在 x 接近零时收敛得比較快。

实现该算法的 C# 程序

依据前面所述的 e^x 的泰勒级数展开式，能够写出下面 C# 程序来为 decimal 数据类型加入一个 Exp 扩展方法：

 1 using System;
 2 
 3 namespace Skyiv.Extensions
 4 {
 5   static class DecimalExtensions
 6   {
 7     static readonly decimal expmax = 66.542129333754749704054283659m;
 8     static readonly int[] mask = { 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 };
 9     static readonly decimal[] exps =
10     {
11       2.71828182845904523536028747135m, // exp(1)
12       7.38905609893065022723042746058m, // exp(2)
13       54.5981500331442390781102612029m, // exp(4)
14       2980.95798704172827474359209945m, // exp(8)
15       8886110.52050787263676302374078m, // exp(16)
16       78962960182680.6951609780226351m, // exp(32)
17       6235149080811616882909238708.93m  // exp(64)
18     };
19     
20     public static decimal Exp(this decimal x)
21     {
22       if (x > expmax) throw new OverflowException("overflow");
23       if (x < -66) return 0;
24       var n = (int)decimal.Round(x);
25       if (n > 66) n--;
26       decimal z = 1, y = Exponential(x - n);
27       for (int m = (n < 0) ?
 -n : n, i = 0; i < mask.Length; i++)
28         if ((m & mask[i]) != 0) z *= exps[i];
29       return (n < 0) ? (y / z) : (y * z);
30     }
31     
32     static decimal Exponential(decimal q)
33     { // q (almost) in [ -0.5, 0.5 ]
34       decimal y = 1, t = q;
35       for (var i = 1; t != 0; t *= q / ++i) y += t;
36       return y;
37     }
38   }
39 }

简要说明例如以下：

第 7 行的 expmax 的值是 decimal.MaxValue 的自然对数的近似值，用于检測 Exp 方法是否溢出(第 22 行)。
第 20 至 30 行的 Exp 扩展方法就是用来计算指数函数了。
该方法利用 e^x+y = e^xe^y 这个公式。将參数 x 分为整数部分 n 和小数部分 x - n 来计算。
整数部分 n 又分解为 1、2、4、8、16、32、 64 诸数中某些的和，利用事先计算出来的常量来计算。
第 25 行是为了防止将 e^66.5421 分解为 e⁶⁷e^-0.4579。这样在计算 e⁶⁷ 时会溢出。而是分解为 e⁶⁶e^0.5421。
第 32 至 37 行的 Exponential 方法使用泰勒级数来计算 e^x 。它的參数 q 越接近于零就计算得越快。
这个算法还是非常快的，第 35 行的 for 循环运行次数不会超过 22 次。

測试程序

以下就是调用 decimal 数据类型的 Exp 扩展方法的測试程序：

 1 using System;
 2 using Skyiv.Extensions;
 3 
 4 class Tester
 5 {
 6   static void Main()
 7   {
 8     try
 9     {
10       foreach (var x in new decimal[] {
11         -100, -66, -65, -1, 0, 1, 2.5m, 16, 66.5421m, 67 })
12         Console.WriteLine("{0,-30}: exp({1})", x.Exp(), x);
13     }
14     catch (Exception ex) { Console.WriteLine(ex.Message); }
15   }
16 }

执行结果例如以下所看到的：

work$ dmcs Tester.cs DecimalExtensions.cs
work$ mono Tester.exe
0                             : exp(-100)
0.0000000000000000000000000000: exp(-66)
0.0000000000000000000000000001: exp(-65)
0.3678794411714423215955237702: exp(-1)
1                             : exp(0)
2.7182818284590452353602874714: exp(1)
12.182493960703473438070175950: exp(2.5)
8886110.520507872636763023741 : exp(16)
79225838488862236701995526357 : exp(66.5421)
overflow

能够看出，在计算 e⁶⁷ 时发现了溢出。这是由于：

decimal.MaxValue = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,335
e⁶⁷ = 125,236,317,084,221,378,051,352,196,074.4365767534885274 ...

能够看出，e⁶⁷ 已经超过 decimal 的最大值了。

事先计算的常数

在 DecimalExtensions.cs 程序的第 9 至 18 行中的 exps 静态仅仅读数组中存放了 e¹、e²、e⁴、e⁸、e¹⁶、e³² 和 e⁶⁴ 的值。这些值是怎样得到的呢？这非常easy，Linux 操作系统中有一个高精度计算器 bc 。

我们能够先编辑一个例如以下内容的文本文件 exps_in.txt：

scale=30
e(1)
e(2)
e(4)
e(8)
e(16)
e(32)
e(64)
l(2^96-1)
quit

上面的 e 代表 exp。l 代表 ln，2⁹⁶ - 1 就是 decimal.MaxValue。

然后运行下面命令：

work$ bc -l exps_in.txt > exps_out.txt

就能够得出例如以下内容的输出 exps_out.txt：

2.718281828459045235360287471352
7.389056098930650227230427460575
54.598150033144239078110261202860
2980.957987041728274743592099452888
8886110.520507872636763023740781450350
78962960182680.695160978022635108224219956195
6235149080811616882909238708.928469744831391846235799914388
66.542129333754749704054283659972

稍加整理，就能够用在上述 C# 程序中了：

前 7 行就是 e 的各次幂。
最后一行就是 decimal.MaxValue 的自然对数。