本题适合初三以上数学爱好者解答。
问题：
设 $a$、$b$、$c$ 及 $x$ 均为实数，并且 $cos x$ 满足二次方程 $$acos^2 x + bcos x + c = 0.$$ 求作一个使 $cos(2x)$ 能够满足的二次方程。
在 $a = 4$，$b = 2$，$c = -1$ 时，比较一下这两个方程。
解答：
这是第1届国际数学奥林匹克（IMO）的第3题，由匈牙利供题。
本题难度不大，数学程度较好的普通中学生即可解决。
当然需要考虑二倍角公式 $$cos 2x = 2cos^2 x - 1,$$ 即 $$cos^2 x = frac{1 + cos 2x}{2}.$$ 对原方程变形以使用二倍角公式： $$acdotcos^2x + c = -bcdotcos x,$$ $$Rightarrow left(acdotcos^2x + c ight)^2 = b^2cdotcos^2x,$$ $$Rightarrow a^2cdotcos^4x + 2accdotcos^2x + c^2 = b^2cdotcos^2x.$$ 代入二倍角公式：$$a^2cdotleft(frac{1 + cos 2x}{2} ight)^2 + 2accdotfrac{1 + cos 2x}{2} + c^2 - b^2cdotfrac{1 + cos 2x}{2} = 0,$$ $$Rightarrow a^2cdotcos^2 2x + 2left(a^2 + 2ac - b^2 ight)cdot cos 2x + (a + 2c)^2 - 2b^2 = 0.$$ 即为所求方程。
当 $a = 4$，$b = 2$，$c = -1$ 时，两个方程分别为： $$4cos^2x + 2cos x -1 = 0,$$ $$16cos^2 2x + 8cos 2x - 4 = 0.$$ 即新方程与原方程系数完全相同（此时 $cos x$ 与 $cos 2x$ 是同一个二次方程的根）。
把这个问题推广一下：
当 $a$、$b$、$c$ 为何值时，新方程与原方程相同？
考虑对应系数成比例（易知 $a$、$b$、$c$ 均不是零）：$$frac{a^2}{a} = frac{2(a^2 + 2ac - b^2)}{b} = frac{(a + 2c)^2 - 2b^2}{c}.$$ 令 $c = 1$ （即求 $a:b:c$ 的值），$$frac{a^2}{a} = frac{2(a^2 + 2a - b^2)}{b} = frac{(a + 2)^2 - 2b^2}{1}.$$ 可以得到两个方程：$$2a^2 + (4-b)a - 2b^2 = 0$$ 及 $$a^2 + 3a + (4 - 2b^2) = 0.$$ 这两个方程有至少一个公共根。
用第二个方程的 $2$ 倍减去第一个方程可得：$$(b+2)a + 8 - 2b^2 = 0$$ $$Rightarrow (b+2)a = 2(b+2)(b-2).$$ 若 $b = -2$，则（代入到第二个方程）$$a^2 + 3a - 4 = 0,$$ 即 $a_1 = -4$，$a_2 = 1$，可得 $a:b:c = -4 : -2 : 1$ 或 $a : b : c = 1 : -2 : 1$ 两组解（前者即为原题所求）。
若 $b e-2$，则 $a = 2(b-2)$，代入到第二个方程可得：$$4(b-2)^2 + 6(b - 2) + 4 - 2b^2 = 0$$ $$Rightarrow 2b^2 -10b + 8 = 0$$ $$Rightarrow b^2 - 5b + 4 = 0.$$ 即 $b_1 = 1$，$b_2 = 4$，可得 $a : b : c = -2 : 1 : 1$ 或 $4 : 4 : 1$ 两组解。
综上，共有 $4$ 种情形：$a : b : c = -4:-2:1$，$1:-2:1$，$-2:1:1$，$4:4:1$.
作者简介：
赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，曾执教于首师大附属实验学校及北京四中，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。
作者微信：zhaoyin0506