本题适合初二以上数学爱好者解答。
问题：
$x$ 取什么实数值时，下列方程能够成立？
a. $sqrt{x + sqrt{2x - 1}} + sqrt{x - sqrt{2x - 1}} = sqrt{2}$;
b. $sqrt{x + sqrt{2x - 1}} + sqrt{x - sqrt{2x - 1}} = 1$;
c. $sqrt{x + sqrt{2x - 1}} + sqrt{x - sqrt{2x - 1}} = 2$.
解答：
这是第1届国际数学奥林匹克（IMO）的第2题，由罗马尼亚供题。
本题难度并不大，主要考查了复合二次根式与绝对值的几何意义，普通中学生就可以轻松解决之。
a. $$sqrt{x + sqrt{2x - 1}} + sqrt{x - sqrt{2x - 1}} = sqrt{2}$$ $$Rightarrow sqrt{2x + 2sqrt{2x - 1}} + sqrt{2x - 2sqrt{2x - 1}} = 2$$ $$Rightarrow sqrt{2x - 1 + 2sqrt{2x - 1} + 1} + sqrt{2x - 1 - 2sqrt{2x - 1} + 1} = 2$$ $$Rightarrow |sqrt{2x - 1} + 1| + |sqrt{2x - 1} - 1| = 2$$ $$Rightarrow -1 le sqrt{2x - 1} le 1$$ $$0 le 2x - 1 le 1$$ $$Rightarrow frac{1}{2} le x le 1.$$
b. $$sqrt{x + sqrt{2x - 1}} + sqrt{x - sqrt{2x - 1}} = 1$$ $$Rightarrow sqrt{2x + 2sqrt{2x - 1}} + sqrt{2x - 2sqrt{2x - 1}} = sqrt{2}$$ $$Rightarrow sqrt{2x - 1 + 2sqrt{2x - 1} + 1} + sqrt{2x - 1 - 2sqrt{2x - 1} + 1} = sqrt{2}$$ $$Rightarrow |sqrt{2x - 1} + 1| + |sqrt{2x - 1} - 1| = sqrt{2}.$$ 而 $$|sqrt{2x - 1} + 1| + |sqrt{2x - 1} - 1| ge 2,$$ 因此该方程无实数解。
c. $$sqrt{x + sqrt{2x - 1}} + sqrt{x - sqrt{2x - 1}} = 2$$ $$Rightarrow sqrt{2x + 2sqrt{2x - 1}} + sqrt{2x - 2sqrt{2x - 1}} = 2sqrt{2}$$ $$Rightarrow sqrt{2x - 1 + 2sqrt{2x - 1} + 1} + sqrt{2x - 1 - 2sqrt{2x - 1} + 1} = 2sqrt{2}$$ $$Rightarrow |sqrt{2x - 1} + 1| + |sqrt{2x - 1} - 1| = 2sqrt{2}$$ $$Rightarrow sqrt{2x - 1} - 1 = frac{1}{2}cdotleft(2sqrt2 - 2 ight)$$ $$Rightarrow sqrt{2x - 1} = sqrt{2}$$ $$Rightarrow x = frac{3}{2}.$$
作者简介：
赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，曾执教于首师大附属实验学校及北京四中，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。
赵胤数学竞赛课程QQ群：482131093