1. 化简下列小数为分数: $displaystyle{1over 1.1overline{25}}$.
解答: $$x = 1.1overline{25} Rightarrow 10x = 11.overline{25}, 1000x = 1125.overline{25}$$ $$Rightarrow 990x = 1114 Rightarrow x = frac{1114}{990} = frac{557}{495}$$ $$Rightarrow frac{1}{1.1overline{25}} = frac{495}{557}.$$
2. 求证: 实数 $sqrt[3]{3}$ 是无理数.
解答: $$sqrt[3]{3} = frac{q}{p}, (p, q) = 1$$ $$Rightarrow 3p^3 = q^3 Rightarrow 3 | q Rightarrow q = 3k, (kinmathbf{N^*})$$ $$Rightarrow p^3 = 9k^3 Rightarrow 3 | p Rightarrow (p, q) e 1.$$ 矛盾!
3. 求证: 任意五个连续正整数的平方和的算术根是无理数.
解答: $$S = (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2).$$ $$ecause n^2 equiv 0, 1, 4 pmod{5}, herefore n^2 + 2 equiv 1, 2, 3 pmod{5}$$ $$Rightarrow 5 | S, 25 ot| S.$$ 即 $S$ 不是完全平方数. 因此其算术根是无理数.
4. 若 $displaystyle{a+b over a-b}$ 是不等于 $1$ 的有理数, 求证: $displaystyle{aover b}$ 为有理数.
解答: $$frac{a+b}{a-b} = frac{q}{p} Rightarrow frac{a}{b} = frac{q+p}{q-p} in mathbf{Q}.$$
5. 设 $a, b, m, n$ 是有理数, $sqrt{m}, sqrt{n}$ 是无理数, 且 $a + sqrt{m} = b + sqrt{n}$, 求证: $a = b$, $m = n$.
解答: $$a + sqrt{m} = b + sqrt{n} Rightarrow (a + sqrt{m} - b)^2 = n$$ $$Rightarrow (a - b)^2 + 2(a-b)sqrt{m} + m = n$$ $$Rightarrow (a - b)^2 + m - n = 2(a-b)sqrt{m}$$ $$Rightarrow egin{cases}(a-b)^2 + m-n = 0\ 2(a - b) = 0 end{cases}$$ $$Rightarrow a = b, m = n.$$
6. 设 $a_n$ 是 $1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + n^2$ 的个位数字, $n = 1, 2, 3, cdots$, 求证: $0.a_1a_2a_3cdots a_ncdots$ 是有理数.
解答:
首先计算 $a_n$: $$1, 5, 4, 0, 5, 1, 0, 4, 5, 5, 6, 0, 9, 5, 0, 6, 5, 9, 0, 0,$$ $$1, 5, 4, cdots$$ 即发现 $a_n$ $20$ 位一循环. 下面证明这一点, 即证 $$f(n+20) equiv f(n) pmod{10}.$$ 令 $f(n) = displaystylesum_{i = 1}^{n}i^2$, 则 $$f(n+20) - f(n) = (n+1)^2 + (n+2)^2 + cdots + (n+20)^2$$ $$= 20n^2 + 420n + 2870$$ $$Rightarrow 10 | f(n+20) - f(n).$$ 因此 $0.a_1a_2a_3cdots a_ncdots$ 是无限循环小数, 其循环节为 $20$ 位.
7. 设 $a, b$ 是实数, 对所有正整数 $n$ ($nge2$), $a^n + b^n$ 都是有理数, 证明: $a + b$ 是有理数.
解答:
由已知可得 $$a^2 + b^2, a^3 + b^3, a^4 + b^4, a^5 + b^5, cdots $$ 均为有理数. 因此 $$(a^2 + b^2)^2 = a^4 + b^4 + 2a^2b^2 inmathbf{Q}$$ $$Rightarrow a^2b^2 in mathbf{Q}.$$ $$ecause (a^2 + b^2)(a^3 + b^3) = a^5 + b^5 + a^2b^2(a+b) inmathbf{Q},$$ $$ herefore a^2b^2(a+b) inmathbf{Q}.$$ 若 $a = b = 0$, 则得证.
若二者中有一个为零, 不妨设 $a = 0$, 则 $$b^2inmathbf{Q}, b^3inmathbf{Q}Rightarrow b inmathbf{Q}$$ $$Rightarrow a + b = b inmathbf{Q}.$$ 若 $a, b$ 均不为零, 则由 $a^2b^2 inmathbf{Q}$ 及 $a^2b^2(a+b) inmathbf{Q}$, 可得 $a + b inmathbf{Q}$.
综上, $a+b inmathbf{Q}$.
主讲教师:
赵胤, 理学硕士(数学) & 教育硕士(数学), 中国数学奥林匹克一级教练员, 高级中学数学教师资格.