1. 对任意的正整数 $n$, 证明: $$1897 ig{|} (2903^n - 803^n - 464^n + 261^n).$$ 解答:
$1897 = 7 imes 271$, $(7, 271) = 1$. $$A equiv 5^n - 5^n - 2^n + 2^n equiv 0 pmod{7};$$ $$A equiv 193^n - 261^n - 193^n + 261^n equiv 0 pmod{271}.$$
2. 证明: $$7 ig{|} (5555^{2222} + 2222^{5555}).$$ 解答:
由 FLT 易得 $$5555^{2222} equiv 4^{2222} equiv left(4^6 ight)^{370} cdot 4^{2} equiv 1cdot2 equiv 2 pmod{7};$$ $$2222^{5555} equiv 3^{5555} equiv left(3^6 ight)^{925}cdot3^5 equiv 1cdot5 equiv 5 pmod{7}.$$ $$Rightarrow 5555^{2222} + 2222^{5555} equiv 2 + 5 equiv 0 pmod{7}.$$
3. 求最大的正整数$n$, 使得$$2^n ig{|} 3^{1024} - 1.$$ 解答: $$3^{1024} - 1 = left(3^{512} + 1 ight)left(3^{256} + 1 ight)cdotsleft(3+1 ight)(3-1)$$ 另一方面, $$3^{2^{k}} + 1 equiv (-1)^{2^k} + 1 equiv 2 pmod{4}, kge1.$$ 因此在 $3^{1024} - 1$ 分解式 $11$ 项中除 $(3+1)$ 外均为 $2$ 的倍数但不是 $4$ 的倍数, 即右式含有 $12$ 个素因子 $2$, 亦即 $n$ 的最大值为 $12$.
4. 求$2^{999}$之末两位数字.
解答: $$2^{10} + 1 equiv 0 pmod{25} Rightarrow 2^{10} equiv -1 pmod{25}$$ $$Rightarrow 2^{1000} equiv 1 pmod{25} Rightarrow 2^{1000} - 1 equiv 0 pmod{25}.$$ 即 $2^{1000}$ 之末两位数字可能为 $01, 26, 51, 76$, 考虑到其被 $4$ 整除, 因此$2^{1000}$ 末两位数字只能为 $76$.
而 $2^{999} = 2^{1000} div 2$, 结合其被 $4$ 整除, 故末两位数字只能为 $88$.
5. 求$7^{7^{7^{7cdots}}}$的末两位数字, 这里共有$k$ ($k > 1$)个7.
解答:
考虑模 $100$ 余 $1$. $$7^2 equiv 49 pmod{100}, 7^{3} equiv 43 pmod{100}, 7^4 equiv 1 pmod{100}.$$ 另一方面 $$7^{7^{7^{7cdots}}} equiv 7^{2t+1} equiv (-1)^{2t+1} equiv 3 pmod{4}.$$ $$Rightarrow 7^{7^{7^{7cdots}}} equiv 7^{4m+3} equiv 7^3 equiv 43 pmod{100}.$$ 因此末两位数字为 $43$.