1. $x, y, zinmathbf{R^+}$, 证明: $$frac{z^2 - x^2}{x + y} + frac{x^2 - y^2}{y + z} + frac{y^2 - z^2}{z + x} ge 0.$$ 解答: $$frac{z^2 - x^2}{x + y} + frac{x^2 - y^2}{y + z} + frac{y^2 - z^2}{z + x} ge 0$$ $$Leftrightarrow frac{z^2}{x+y} + frac{x^2}{y+z} + frac{y^2}{z + x} ge frac{x^2}{x + y} + frac{y^2}{y + z} + frac{z^2}{z + x}$$ 考虑证明上述不等式.
不妨设 $x le y le z$, $$Rightarrow frac{1}{y+z} le frac{1}{x+z} le frac{1}{x+y}, x^2 le y^2 le z^2.$$ $$Rightarrow frac{x^2}{y+z} + frac{y^2}{z + x} + frac{z^2}{x+y} ge frac{x^2}{x + y} + frac{y^2}{y + z} + frac{z^2}{z + x}$$ 最后一个不等式成立依据是排序不等式.
2. $x, y, zinmathbf{R^+}$, 证明: $$frac{yz}{(x + y)(x + z)} + frac{xz}{(y + z)(y + x)} + frac{xy}{(z + x)(z + y)} ge frac{3}{4}.$$ 解答:
不妨设 $xle yle z$, $$Rightarrow xy le xz le yz, frac{1}{(x+z)(y+z)} le frac{1}{(x+y)(y+z)} le frac{1}{(x+y)(x+z)}.$$ 因此原不等式左边为顺序和, 记作 $M$. $$egin{cases} M = dfrac{yz}{(x + y)(x + z)} + dfrac{xz}{(y + z)(y + x)} + dfrac{xy}{(z + x)(z + y)} \ M ge dfrac{xy}{(x + y)(x + z)} + dfrac{yz}{(y + z)(y + x)} + dfrac{zx}{(z + x)(z + y)}\ M ge dfrac{xz}{(x + y)(x + z)} + dfrac{xy}{(y + z)(y + x)} + dfrac{yz}{(z + x)(z + y)} end{cases}$$ $$Rightarrow egin{cases}2M ge dfrac{y}{x+y} + dfrac{z}{y + z} + dfrac{x}{z + x}\ 2M ge dfrac{z}{z+x} + dfrac{x}{x+y} + dfrac{y}{y + z}end{cases}$$ $$Rightarrow 4M ge 3 Rightarrow M ge frac{3}{4}.$$
3. 设 $b_i$ 是 $a_i > 0$ ($i = 1$, $2$, $cdots$, $n$)的一个排列. 证明: $$sum_{i = 1}^{n}frac{a_i}{b_i} ge n.$$ 解答:
不妨设 $a_1 le a_2 le cdots le a_n$, $$Rightarrow frac{1}{a_n} le frac{1}{a_{n-1}} le cdots le frac{1}{a_1}$$ $$Rightarrow n = a_1 cdot frac{1}{a_1} + a_2 cdot frac{1}{a_2} + cdots + a_n cdot frac{1}{a_n} le frac{a_1}{b_1} + frac{a_2}{b_2} + cdots + frac{a_n}{b_n}.$$ 最后一个不等式成立依据是排序不等式(左边为反序和, 右边为乱序和).
4. $a, b. cinmathbf{R}$, 证明: $$frac{a}{b + c} + frac{b}{c+a} + frac{c}{a + b} ge frac{3}{2}.$$ 解答:
不妨设 $a le b le c$, $$Rightarrow frac{1}{b+c} le frac{1}{a + c} le frac{1}{a+b}$$ $$Rightarrow egin{cases}dfrac{a}{b + c} + dfrac{b}{c+a} + dfrac{c}{a + b} ge dfrac{b}{b+c} + dfrac{c}{c+a} + dfrac{a}{a+b}\ dfrac{a}{b + c} + dfrac{b}{c+a} + dfrac{c}{a + b} ge dfrac{c}{b+c} + dfrac{a}{c+a} + dfrac{b}{a+b} end{cases}$$ $$Rightarrow 2cdot left(frac{a}{b + c} + frac{b}{c+a} + frac{c}{a + b} ight) ge 3$$ $$Rightarrow frac{a}{b + c} + frac{b}{c+a} + frac{c}{a + b} ge frac{3}{2}.$$
5. $a, b. cinmathbf{R^+}$, 证明: $$frac{a^2}{b + c} + frac{b^2}{c+a} + frac{c^2}{a + b} ge frac{1}{2}(a + b + c).$$ 解答:
不妨设 $a le b le c$, $$Rightarrow a^2 le b^2 le c^2, frac{1}{b+c} le frac{1}{c + a} le frac{1}{a + b}$$ $$Rightarrow egin{cases}dfrac{a^2}{b + c} + dfrac{b^2}{c+a} + dfrac{c^2}{a + b} ge dfrac{b^2}{b + c} + dfrac{c^2}{c+a} + dfrac{a^2}{a + b}\ dfrac{a^2}{b + c} + dfrac{b^2}{c+a} + dfrac{c^2}{a + b} ge dfrac{c^2}{b + c} + dfrac{a^2}{c+a} + dfrac{b^2}{a + b} end{cases}$$ $$Rightarrow 2cdot left(frac{a^2}{b + c} + frac{b^2}{c+a} + frac{c^2}{a + b} ight) ge frac{b^2 + c^2}{b+c} + frac{c^2 + a^2}{c+a} + frac{a^2 + b^2}{a+b}$$ $$ge frac{1}{2}(b + c) + frac{1}{2}(c + a) + frac{1}{2}(a + b) = a + b + c$$ $$Rightarrow frac{a^2}{b + c} + frac{b^2}{c+a} + frac{c^2}{a + b} ge frac{1}{2}(a + b + c).$$
6. 设 $a$, $b$, $c$ 是三角形的三边长, 证明: $$a^2b(a - b) + b^2c(b - c) + c^2a(c - a) ge 0.$$ 解答:
对三边做变量代换: $$egin{cases}a = y + z\ b = z + x \ c = x + y end{cases}$$ 原不等式等价于 $$(y + z)^2(z + x)(y - x) + (z + x)^2(x + y)(z - y) + (x+y)^2(y+z)(x - z) ge 0$$ $$Leftrightarrow xy^3 + yz^3 + zx^3 - x^2yz - xy^2z - xyz^2 ge 0$$ $$Leftrightarrow xyzleft(frac{y^2}{z} + frac{z^2}{x} + frac{x^2}{y} - x - y - z ight) ge 0$$ $$Leftrightarrow frac{y^2}{z} + frac{z^2}{x} + frac{x^2}{y} - x - y - z ge 0$$ 最后一个不等式由A-G不等式, Cauchy不等式, 排序不等式均可证明.
7. 设 $a_i inmathbf{N^*}$ ($i = 1$, $2$, $cdots$, $n$)且互不相同, 证明: $$1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + cdots + frac{1}{n} le a_1 + frac{a_2}{2^2} + cdots + frac{a_n}{n^2}.$$ 解答:
设 $b_i$ 是 $a_i$ 的一个排列, 且 $b_1 < b_2 < cdots < b_n$, 易知 $b_i ge i$ 及 $1 > dfrac{1}{2^2} > cdots > dfrac{1}{n^2}$. 由排序不等式有 $$a_1 + frac{a_2}{2^2} + cdots + frac{a_n}{n^2} ge b_1 + frac{b_2}{2^2} + cdots + frac{b_n}{n^2} ge 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + cdots + frac{1}{n}.$$