1. 若对任何实数 $p$, 抛物线 $y = 2x^2 - px + 4p + 1$ 都过一定点, 求此定点的坐标.
解答:
整理成关于 $p$ 的方程: $(x-4)p = 2x^2 + 1 - y$ ($pinmathbf{R}$) $$Rightarrow egin{cases}x - 4 = 0\ 2x^2 + 1 - y = 0 end{cases}Rightarrow egin{cases}x = 4\ y = 33 end{cases}$$ 即此抛物线恒过定点$(4, 33)$.
2. 证明: 无论 $p$ 取什么实数值时, 抛物线 $y = x^2 + (p+1)x + displaystyle{1over2}p + {1over4}$ 恒通过一个定点, 而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上.
解答:
整理成关于 $p$ 的方程 ($pinmathbf{R}$): $$left(x + {1over2} ight)p = y - x^2 - x - {1over4}Rightarrow egin{cases}x+{1over2} = 0\ y-x^2 - x - {1over4} = 0 end{cases}Rightarrow egin{cases}x = -{1over2}\ y = 0 end{cases}$$ 即通过定点$left(-displaystyle{1over2}, 0 ight)$. 原方程顶点坐标为$$egin{cases}x = -displaystyle{p+1 over2}\ y = displaystyle{2p + 1 - (p+1)^2 over 4} end{cases}$$ 消去 $p$ 得: $$y = {-4x - 2 + 1 - (-2x - 1 + 1)^2over4} = -x^2 - x - {1over4}.$$
3. 已知定义在闭区间 $[0, a]$ 上的函数 $y = x^2 - 2x + 3$. 问: 当 $a$ 在什么范围内取值时, $y$ 的最大值是3且最小值是2.
解答:
$y = (x - 1)^2 + 2$, 当 $x = 1$ 时取最小值 $y_ ext{min} = 2Rightarrow a ge 1$. 令 $y = 3Rightarrow x = 0, 2Rightarrow ale2$. 因此 $ain[1, 2]$.
4. 二次函数 $f(x) = x^2 - 2ax + 6$ 当 $-2 le x le 2$ 时, 恒有 $f(x) ge a$. 求 $a$ 的取值范围.
解答:
$f(x) = (x - a)^2 + 6 - a^2$, 即对称轴为 $x = a$. 下面对 $xin[-2, 2]$ 时分类讨论:
当 $a < -2$ 时, $$f(x) ge f(-2) = 10 + 4a ge a Rightarrow a ge -{10over3}.$$ 当 $-2 le a le 2$ 时, $$f(x) ge f(a) = 6-a^2 ge a Rightarrow -3 le a le 2.$$ 当 $a > 2$ 时, $$f(x) ge f(2) = 10 - 4a ge a Rightarrow a le 2.$$ 综上, $ainleft[-displaystyle{10over3}, 2 ight]$.
5. 已知 $x^2 + 2y^2 = 1$. 求 $2x + 5y^2$ 的最大值及最小值.
解答:
$2x + 5y^2 = 2x + 5cdot displaystyle{1-x^2 over 2} = -{5over2}left(x - {2over5} ight)^2 + {29over10}$.
由已知求出 $x$ 之取值范围: $-1le x le 1$.
因此 $2x + 5y^2 inleft[-2, displaystyle{29over10} ight]$.
6. 已知方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 有两个相异实根. 求证: 方程$$ax^2 + bx + c + kleft(x + {b over 2a} ight) = 0$$至少有一个根, 在前一方程的两根之间.
解答:
令 $f(x) = ax^2 + bx + c + kleft(x + displaystyle{b over 2a} ight)$, 需证明$$f(x_1) cdot f(x_2) < 0Leftrightarrow kleft(x_1 + displaystyle{bover 2a} ight) cdot kleft(x_2 + {bover2a} ight) < 0Leftrightarrow left(x_1 + displaystyle{bover 2a} ight) cdot left(x_2 + {bover2a} ight) < 0$$ 其中 $x_1, x_2$ 是 $ax^2 + bx + c = 0$ 之两根.$$x_1 = {-b + sqrt{b^2 - 4ac} over 2a}, x_2 = {-b - sqrt{b^2 - 4ac} over 2a}$$ $$Rightarrow left(x_1 + displaystyle{bover 2a} ight) cdot left(x_2 + {bover2a} ight) = {-left(b^2 - 4ac ight) over 4a^2} < 0.$$ Q.E.D.
7. 已知二次函数 $f(x)$ 满足:
a. $f(-1) = 0$;
b. 对一切实数 $x$, 有 $x le f(x) le displaystyle{1+x^2 over 2}$ 成立.
求 $f(x)$ 的解析式.
解答:
设$f(x) = ax^2 + bx + c$.
由$$f(-1) = 0Rightarrow a - b + c = 0.$$ 由$$x le f(x) le {1+x^2 over 2}Rightarrow 1 le f(1) = a + b + c le 1 Rightarrow a + b + c = 1.$$ 由$$egin{cases}a - b + c = 0\ a +b + c = 1 end{cases}Rightarrow b = a + c = {1over2}.$$ 由$$f(x) ge x Rightarrow ax^2 + (b-1)x + c ge 0 Rightarrow egin{cases}a > 0\ Delta = (b-1)^2 - 4acle 0 end{cases}$$ $$Rightarrow ac ge {1over16}Rightarrow left({1over2} - a ight)cdot a ge {1over16}Rightarrow left(a - {1over4} ight)^2 le 0 Rightarrow a = c = {1over4}.$$ 因此解析式为$$f(x) = {1over4}x^2 + {1over2}x + {1over4}.$$
P.S. 原文答案中 $f(-1) = 0 Rightarrow f(x) = a(x + 1)^2$ 有误, 感谢子谦父亲及时指正, 在此深表谢意.
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