1、直角 $ riangle{ABC}$ 中, $AD$ 是斜边上的高, $I_1, I_2$ 是 $ riangle{ABD}, riangle{ACD}$ 的内心, 求证: $B, C, I_2, I_1$ 四点共圆.
证明:
考虑证明 $$angle{BI_1I_2} + angle{BCI_2} = angle{BI_1D} + angle{DI_1I_2} + angle{BCI_2} = 180^circ.$$ 易知 $$angle{BI_1D} = 180^circ - {1over2}(angle{ABD} + angle{ADB}) = 180^circ - {1over2}(180^circ - angle{BAD}) =90^circ + {1over2}angle{BAD}.$$ 另一方面, $$angle{BAC} = angle{I_1DI_2} = 90^circ, AB : AC = I_1D : I_2D (ecause riangle{ABD} sim riangle{CAD}).$$ 因此 $$ riangle{ABC} sim riangle{DI_1I_2}Rightarrow angle{ABC} = angle{DI_1I_2}, angle{ACB} = angle{DI_2I_1}.$$ 由此可得 $$angle{BI_1I_2} + angle{BCI_2} = angle{BI_1D} + angle{DI_1I_2} + angle{BCI_2}$$ $$= 90^circ + {1over2}angle{BAD}+ angle{ABC} + {1over2}angle{ACB}$$ $$= 90^circ + {1over2}angle{BAD}+ angle{ABC} + {1over2}angle{BAD}$$ $$= 90^circ + angle{BAD}+ angle{ABC} = 180^circ.$$
Q.E.D.
2、在凸五边形 $ABCDE$ 中, 若 $angle{ABC} = angle{ADE}$, $angle{AEC} = angle{ADB}$, 求证: $angle{BAC} = angle{DAE}$.
证明:
设 $BD, CE$ 交点为 $F$. 由 $angle{AEC} = angle{ADB}$ 知 $A, E, D, F$ 四点共圆.
再由 $angle{ABC} = angle{ADE} = angle{AFE}$ 知 $A, B, C, F$ 四点共圆.
由此可得 $angle{BAC} = angle{BFC} = angle{DFE} = angle{DAE}$.
Q.E.D.
3、在圆内引弦 $AB, AC$, $angle{BAC}$ 的平分线交圆于点 $D$. 过 $D$ 作 $DEperp AB$ 于 $E$, 求证: $AE = displaystyle{1over 2}(AB + AC)$.
证明:
考虑证明 $2AE = AB + AC$.
由角平分线性质及 $CD = BD$, 构造全等三角形, 作 $DFperp AC$ (或其延长线)于 $F$.
易证 $ riangle{DFC}cong riangle{DEB}$ 及 $ riangle{DFA}cong riangle{DEA}$, 因此 $2AE = AE + AF = AB + AC$.
需要注意的是, 本题应说明当 $B, E$ 重合时之情形. 易知此时 $AD$ 为该圆直径, 结论依然成立.
Q.E.D.
4、在三角形 $ABC$ 中, $angle{ACB} = 45^circ$, $D$ 为 $AC$ 上一点且 $angle{ADB} = 60^circ$, $AB$ 切 $ riangle{BCD}$ 外接圆于 $B$, 求证: $AD:DC = 2:1$.
证明:
由于 $AD, DC$ 在同一条直线上, 考虑平行截割定理暨造出平行关系解决之.
连接 $OB$ 造出直角, 再由 $angle{ACB} = 45^circ$ 考虑再造出一个 $90^circ$: $$angle{BOD} = 2angle{BCD} = 90^circ.$$ 由此发现 $ABparallel ODRightarrow AD:DC = BE:EC$. 接下来可以考虑证明 $BE:EC = 2:1$.
通过 $ riangle{ABC}sim riangle{ADB}$ 及简单的角度计算可知: $$angle{ABC} = angle{ADB} = 60^circRightarrow angle{OBC} = 30^circRightarrow BE = 2OE,$$ $$angle{DBC = 15^circ}Rightarrow angle{DOC} = 30^circRightarrow EC = OE.$$ 由此可知 $BE = 2CERightarrow AD = 2DC$.
Q.E.D.
5、设 $ABCD$ 是圆内接四边形, 对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于 $X$, 从 $X$ 作 $AB, BC, CD, DA$ 的垂线, 垂足分别为 $A^prime, B^prime, C^prime, D^prime$, 求证: $A^prime B^prime + C^prime D^prime = A^prime D^prime + B^prime C^prime$.
证明:
由已知的垂直关系可得 $A^prime, B, B^prime, X$ 四点共圆, 且其直径为 $BX$. 则由正弦定理有 $${BXoversin90^circ} = {A^prime B^prime over sinangle{A^prime BB^prime}}Rightarrow {A^prime B^primeover BX} = sinangle{A^prime BB^prime}.$$ 另一方面, 在 $ABCD$ 外接圆中同样有 $${ACover d} = sinangle{A^prime BB^prime},$$其中 $d$ 为 $ABCD$ 外接圆之直径. 由此可知 $$A^prime B^prime = {BXcdot ACover d}.$$ 同理可得 $$C^prime D^prime = {DXcdot ACover d}.$$ 因此, $$A^prime B^prime + C^prime D^prime = BDcdot{ AC over d}.$$ 同理可得 $$B^prime C^prime + A^prime D^prime = ACcdot{ BD over d}.$$ 即 $A^prime B^prime + C^prime D^prime = A^prime D^prime + B^prime C^prime$.
Q.E.D.
6、四边形 $ABCD$ 内接于圆, 另一圆的圆心 $O$ 在边 $AB$ 上, 且与其余三边相切, 求证: $AD + BC = AB$.
证明:
由证明结论考虑将 $AD, BC$ 平移到 $AB$上, 暨在 $AB$ 上截取 $BE = BC$, 证明目标为 $AE = AD$.
由 $A, B, C, D$ 四点共圆及切线性质可知 $$angle{BEC} = angle{BCE} = {1over2}(180^circ - angle{EBC}) = {1over2}angle{ADC} = angle{ODC},$$ 因此 $O, E, C, D$ 四点共圆. 由此可得 $$angle{AED} = angle{OCD} = {1over 2}angle{BCD} = {1over2}(180^circ - angle{A}),$$即证明$AE = AD$.
Q.E.D.
7、两圆彼此外切于 $D$, 一直线切一圆于 $A$, 交另一圆于 $B, C$ 两点, 求证: $A$ 到直线 $BD, CD$ 之距离相等.
证明:
点到两直线(线段)距离相等, 可联想到角平分线之性质. 延长 $CD$ 交圆于 $E$, 考虑证明 $AD$ 是 $angle{BDE}$ 之角平分线.
过点 $D$ 作两圆之公切线交 $AC$ 于 $F$, 可知 $$angle{ADB} = angle{ADF} + angle{BDF} = angle{DAF} +angle{DCF} = angle{ADE}.$$ 即证明 $AD$ 是 $angle{BDE}$ 之角平分线.
Q.E.D.
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