设 $a < 0$, 求证方程 $displaystyle{1over x} + {1over x+a} + {1over x+a^2} = 0$ 有两个异号实根, 且正根小于 $-displaystyle{2aover3}$, 负根大于 $-displaystyle{2a^2over 3}$.
解答:
考虑将该分式方程转化为整式方程并讨论之. $$ {1over x} + {1over x+a} + {1over x + a^2} = 0 Rightarrow (x + a)(x + a^2) + x(x + a^2) + x(x + a) = 0 Rightarrow 3x^2 + (2a^2+2a)x + a^3 = 0.$$ 令 $f(x) = 3x^2 + 2(a^2 + 2a)x + a^3$, 由 $a < 0$ 易知 $$egin{cases}f(0)cdot f(-displaystyle{2over3}a^2) = -{1over3}a^6 < 0\ f(0)cdot f(-displaystyle{2over3}a) = -{1over3}a^6 < 0end{cases}$$ 即 $f(x)$ 在 $left(-displaystyle{2over3}a^2, 0 ight)$ 有一负根, 在 $left(0, -displaystyle{2over3}a ight)$ 有一正根.
又 $ecause$ $$f(0) = a^3 e0$$ $$f(-a) = -a^3 e0$$ $$f(-a^2) = a^4 - a^3 e 0$$ 即 $x e0, -a, -a^2$.
$ herefore$ 方程 $3x^2 + 2(a^2 + a)x + a^3 = 0$ 与原分式方程同解.
故命题成立.
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