力扣516题、72题、1312题（最长回文子序列，编辑距离，构造回文串）

516、最长回文子序列

基本思想：

动态规划运用二维dp数组

具体实现：

1、确定状态：

（1）最后一步----字符串s[i:j]中的最长回文子序列的长度

（2）子问题

2、转移方程

（1）s[i]==s[j]

把字符串左右同时缩小一下+2，上图情况1 +2

（2）s[i]!=s[j]

不相等的话说明这两个字符不可能同时出现在s[i:j]的最长回文子序列

选择上图情况2和3较大的一个

3、初始状态

dp[i][i] = 1

i比j大的地方dp都是0

因为i永远在j的前面

4、计算顺序

从左到右知道j，要先知道 j-1

从下到上知道i，要先知道 i+1

代码：

class Solution:
    def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
        n = len(s)
        dp=[[0]*n for i in range(n)]
        for i in range(n):
            dp[i][i] = 1
        for i in range(n-2,-1,-1):
            for j in range(i+1,n):
                if s[i] == s[j]:
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] +2
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i][j-1])
        return dp[0][n-1]

72、编辑距离

基本思想：

动态规划，二维数组

具体实现：

1、确定状态：

（1）最后一步--dp[i][j]表示s1[0.....i-1]和s2[0......j-1]的编辑距离

（2）子问题

i索引对应的是需要改变的

插入--在i的后面插入j对应的字符，插入完以后j往前一步， i不动

删除--删除i对应的字符，删除完以后i往前一步，j不动

替换--把i对应的字符替换成j对应的字符，替换完都往前走一步

跳过--说明i和j对应的字符相同，dp[i][j] == dp[i-1][j-1]

2、状态转移方程：

（1）word1[i] == word[j]

dp[i][j] == dp[i-1][j-1]

（2）word1[i] != word[j]

dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1

3、初始状态：

horse是word1，ros是word2

第一行，word1为空，word1变成word2的最少步数就是插入操作

第一列，Word2为空，word1变成word2的最少步数就是删除操作

4、计算顺序：

从左到右，从上到下

代码：

class Solution:
    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
        m = len(word1)
        n = len(word2)
        dp = [[0 for _ in range(n+1)]for _ in range(m+1)]
        for i in range(1,m+1):
            dp[i][0] = i
        for j in range(1,n+1):
            dp[0][j] = j
        for i in range(1,m+1):
            for j in range(1,n+1):
                if word1[i-1] == word2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
                else:
                    dp[i][j] = 1+min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1],dp[i][j-1])
        return dp[m][n]

1312、以最小插入次数构造回文串

基本思想：

动态规划

具体实现：

1、确定状态：

最后一步---dp[i][j]表示构成的回文串的插入最少的次数

子问题---dp[i][j-1]，dp[i+1][j]，dp[i+1][j-1]构成回文串的插入最少的次数

2、状态转移方程：

（1）s[i] == s[j]

不需要任何插入，只要看s[i+1....j-1]是否是回文串就行了

dp[i][j] = dp[i+1][j-1]

（2）s[i] != s[j]

dp[i+1][j] ，dp[i][j-1] 其中次数少的一种至少插入一个字符

3、初始状态：

i == j时，dp[i][j]=0

4、计算顺序

从左到右，从下到上

代码：

class Solution:
    def minInsertions(self, s: str) -> int:
        n = len(s)
        dp = [[0]*n for _ in range(n)]
        for i in range(n-2,-1,-1):
            for j in range(i+1,n):
                if s[i] == s[j]:
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1]
                else:
                    dp[i][j] = 1 + min(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
        return dp[0][n-1]

空间复杂度降低

class Solution:
    def minInsertions(self, s: str) -> int:
        n = len(s)
        dp = [0]*n 
        for i in range(n-2,-1,-1):
            pre = 0
            for j in range(i+1,n):
                temp = dp[j]
                if s[i] == s[j]:
                    dp[j] = pre
                else:
                    dp[j] = 1 + min(dp[j], dp[j-1])
                pre = temp
        return dp[n-1]