算法笔记——强联通分量&缩点

强联通分量（Strongly Connected Components）：有向图的极大强连通子图。

为了搞清楚SCC是怎么回事，我们得先明白有向图中的 $4$ 种边。

A. 树枝边：DFS树上的边，即指向未访问过节点的边
B. 前向边：指向DFS树中子树中节点的边
C. 后向边：指向DFS树中父亲的边
D. 横叉边：其他边，即指向DFS树中非子树的边

在这里插入图片描述
我们需要维护 $2$ 个东西

一个是 $dfn$ 就是 $dfs$ 序，也是我们常说的时间戳。
一个是 $low$ 就是这个点所能到达子树中的，深度最小的点祖先的dfs序编号。

$dfn$ 处理起来很简单，直接 $dfs$ 的时候编一下号就行了。

$low$ 的初始值为 $dfn$ 。

对于边(u,v)

若为树枝边，则用low[v]更新
若为前向边，因为指向的点的信息已经通过树枝边传递过来，所以无需更新
若为后向边，则用dfn[v]更新
若为横叉边，则指向另一个强连通分量，无需更新

代码：

int s[MAXN], stop;
int dfn[MAXN], low[MAXN];
int scccnt, sccnum[MAXN];
int dfscnt;

inline void tarjan(int now){
    dfn[now] = low[now] = ++dfscnt;
    s[stop++] = now;
    for (int i = he[now]; i != 0 ; i = ne[i]){
        if (!dfn[ed[i]]) {
            tarjan(ed[i]);
            low[now] = min(low[now], low[ed[i]]);
        } else if(!sccnum[ed[i]]) {
            low[now] = min(low[now], dfn[ed[i]]);
        }
    }

    if (dfn[now] == low[now]) {
        scccnt++;
        do {
            sccnum[s[--stop]] = scccnt;
        } while(s[stop] != now);
    }
}

sccnum这里是维护了一个栈，判断横插边。

例题：