上一篇简单介绍了下Prolog的一些基本概念，今天我们来利用这些基本概念解决两个问题：数独和八皇后问题。
数独
数独是一个很经典的游戏：
玩家需要根据n×n盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内的数字均含1-n，不重复。
当然数独的阶有很多，9×9是最常见的，我们就以它做例子。在用Prolog解决之前先想想如果我们用C#或Java来做或怎么做？无非就是数据结构加算法，我们先得用一个数据结构表示数独，然后我们要在这个数据结构上“施加”算法进行求解。采用Prolog的第一步是相同的，我们得找一个数据结构表示数独，毫无疑问在Prolog中我们只能选择列表或元组，这里列表是更好的选择，因为列表可以进行[Head|Tail]解析，后面你就知道为什么了。我们像下面这样表示一个数独：
[_, 6, _, 5, 9, 3, _, _, _, 9, _, 1, _, _, _, 5, _, _, _, 3, _, 4, _, _, _, 9, _, 1, _, 8, _, 2, _, _, _, 4, 4, _, _, 3, _, 9, _, _, 1, 2, _, _, _, 1, _, 6, _, 9, _, 8, _, _, _, 6, _, 2, _, _, _, 4, _, _, _, 8, _, 7, _, _, _, 7, 8, 5, _, 1, _]
“_”代表未知的数字，需要玩家填空的地方。
接下来的步骤跟命令式语言就截然不同了，我们不是描述算法，而是要描述数独这个游戏的规则：
- 给定玩家一个9×9的盘面，玩家填充完所有的空格后最终的解仍然是这个9×9的盘面；
- 填充完空格后，每一个空格内的数字均在1~9之内；
- 填充完空格后，每一行9个数字各不相同；
- 填充完空格后，每一列9个数字各不相同；
- 填充完空格后，每一个宫格内的数字各不相同。
Ok，这就是整个游戏的规则。你可能觉得第一条规则没什么用，实际上第一条规则定义了“解”的形式，就像在C#中我们确定了方法的签名一样：
sudoku(Puzzle,Solution):- Solution = Puzzle.
事实上这个规则已经可以工作了：
| ?- sudoku([1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,2,3,4,5,6,7,8,9],Solution). Solution = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9......
当然这只是第一步，这个规则对于输入的数独形式没有任何限制，事实上可以是任意的列表,Prolog都返回yes：
| ?- sudoku([1,2,3],Solution). Solution = [1,2,3] yes
我们需要规定下数独的形式：
sudoku(Puzzle,Solution):- Solution = Puzzle, Puzzle = [S11,S12,S13,S14,S15,S16,S17,S18,S19, S21,S22,S23,S24,S25,S26,S27,S28,S29, S31,S32,S33,S34,S35,S36,S37,S38,S39, S41,S42,S43,S44,S45,S46,S47,S48,S49, S51,S52,S53,S54,S55,S56,S57,S58,S59, S61,S62,S63,S64,S65,S66,S67,S68,S69, S71,S72,S73,S74,S75,S76,S77,S78,S79, S81,S82,S83,S84,S85,S86,S87,S88,S89, S91,S92,S93,S94,S95,S96,S97,S98,S99].
| ?- sudoku([1,2,3],Solution). no
我们接着看第二条规则：“填充完空格后，每一个空格内的数字均在1~9之内” 。上一篇文章中我们介绍了Prolog中有一个内置谓词叫fd_domain，这时候就可以派上用场了：
sudoku(Puzzle,Solution):- Solution = Puzzle, Puzzle = [S11,S12,S13,S14,S15,S16,S17,S18,S19, S21,S22,S23,S24,S25,S26,S27,S28,S29, S31,S32,S33,S34,S35,S36,S37,S38,S39, S41,S42,S43,S44,S45,S46,S47,S48,S49, S51,S52,S53,S54,S55,S56,S57,S58,S59, S61,S62,S63,S64,S65,S66,S67,S68,S69, S71,S72,S73,S74,S75,S76,S77,S78,S79, S81,S82,S83,S84,S85,S86,S87,S88,S89, S91,S92,S93,S94,S95,S96,S97,S98,S99], fd_domain(Puzzle,1,9).
好了现在我们只能输入9×9并且每个每个位置上只能是1~9之间的数的列表了。
好了，现在到整个游戏的关键规则，事实上2,3,4这三个规则才决定了数独的难度，1,2只不过是基础，我们来统一考虑这三个问题。这里其实比想象的简单多了。我们首先要做的就是需要定义出来行、列、宫格：
Row1 = [S11,S12,S13,S14,S15,S16,S17,S18,S19], Row2 = [S21,S22,S23,S24,S25,S26,S27,S28,S29], Row3 = [S31,S32,S33,S34,S35,S36,S37,S38,S39], Row4 = [S41,S42,S43,S44,S45,S46,S47,S48,S49], Row5 = [S51,S52,S53,S54,S55,S56,S57,S58,S59], Row6 = [S61,S62,S63,S64,S65,S66,S67,S68,S69], Row7 = [S71,S72,S73,S74,S75,S76,S77,S78,S79], Row8 = [S81,S82,S83,S84,S85,S86,S87,S88,S89], Row9 = [S91,S92,S93,S94,S95,S96,S97,S98,S99], Col1 = [S11,S21,S31,S41,S51,S61,S71,S81,S91], Col2 = [S12,S22,S32,S42,S52,S62,S72,S82,S92], Col3 = [S13,S23,S33,S43,S53,S63,S73,S83,S93], Col4 = [S14,S24,S34,S44,S54,S64,S74,S84,S94], Col5 = [S15,S25,S35,S45,S55,S65,S75,S85,S95], Col6 = [S16,S26,S36,S46,S56,S66,S76,S86,S96], Col7 = [S17,S27,S37,S47,S57,S67,S77,S87,S97], Col8 = [S18,S28,S38,S48,S58,S68,S78,S88,S98], Col9 = [S19,S29,S39,S49,S59,S69,S79,S89,S99], Square1 = [S11,S12,S13,S21,S22,S23,S31,S32,S33], Square2 = [S14,S15,S16,S24,S25,S26,S34,S35,S36], Square3 = [S17,S18,S19,S27,S28,S29,S37,S38,S39], Square4 = [S41,S42,S43,S51,S52,S53,S61,S62,S63], Square5 = [S44,S45,S46,S54,S55,S56,S64,S65,S66], Square6 = [S47,S48,S49,S57,S58,S59,S67,S68,S69], Square7 = [S71,S72,S73,S81,S82,S83,S91,S92,S93], Square8 = [S74,S75,S76,S84,S85,S86,S94,S95,S96], Square9 = [S77,S78,S79,S87,S88,S89,S97,S98,S99],
上一篇文章中我还提到一个谓词叫fd_all_different:检查列表中是否有重复元素，接下来我们只要证明每一列，每一行，每一个宫格列表内没有重复元素就可以了：
fd_all_different(Row1),
fd_all_different(Row2),
……
fd_all_different(Col1),
fd_all_different(Col2),
……
fd_all_different(Square1),
fd_all_different(Square2),
……
其实到此这个解数独的程序已经结束了，不过最后这几行代码太土了，我们可以采用用递归“优化”下，像下面这样：
valid([]). valid([Head|Tail]):- fd_all_different(Head), valid(Tail).
valid([Row1,Row2,Row3,Row4,Row5,Row6,Row7,Row8,Row9,
Col1,Col2,Col3,Col4,Col5,Col6,Col7,Col8,Col9,
Square1,Square2,Square3,Square4,Square5,Square6,Square7,Square8,Square9]).
不管你信不信，我们已经搞定了，最终完整的代码如下：
valid([]). valid([Head|Tail]):- fd_all_different(Head), valid(Tail). sudoku(Puzzle,Solution):- Solution = Puzzle, Puzzle = [S11,S12,S13,S14,S15,S16,S17,S18,S19, S21,S22,S23,S24,S25,S26,S27,S28,S29, S31,S32,S33,S34,S35,S36,S37,S38,S39, S41,S42,S43,S44,S45,S46,S47,S48,S49, S51,S52,S53,S54,S55,S56,S57,S58,S59, S61,S62,S63,S64,S65,S66,S67,S68,S69, S71,S72,S73,S74,S75,S76,S77,S78,S79, S81,S82,S83,S84,S85,S86,S87,S88,S89, S91,S92,S93,S94,S95,S96,S97,S98,S99], fd_domain(Puzzle,1,9), Row1 = [S11,S12,S13,S14,S15,S16,S17,S18,S19], Row2 = [S21,S22,S23,S24,S25,S26,S27,S28,S29], Row3 = [S31,S32,S33,S34,S35,S36,S37,S38,S39], Row4 = [S41,S42,S43,S44,S45,S46,S47,S48,S49], Row5 = [S51,S52,S53,S54,S55,S56,S57,S58,S59], Row6 = [S61,S62,S63,S64,S65,S66,S67,S68,S69], Row7 = [S71,S72,S73,S74,S75,S76,S77,S78,S79], Row8 = [S81,S82,S83,S84,S85,S86,S87,S88,S89], Row9 = [S91,S92,S93,S94,S95,S96,S97,S98,S99], Col1 = [S11,S21,S31,S41,S51,S61,S71,S81,S91], Col2 = [S12,S22,S32,S42,S52,S62,S72,S82,S92], Col3 = [S13,S23,S33,S43,S53,S63,S73,S83,S93], Col4 = [S14,S24,S34,S44,S54,S64,S74,S84,S94], Col5 = [S15,S25,S35,S45,S55,S65,S75,S85,S95], Col6 = [S16,S26,S36,S46,S56,S66,S76,S86,S96], Col7 = [S17,S27,S37,S47,S57,S67,S77,S87,S97], Col8 = [S18,S28,S38,S48,S58,S68,S78,S88,S98], Col9 = [S19,S29,S39,S49,S59,S69,S79,S89,S99], Square1 = [S11,S12,S13,S21,S22,S23,S31,S32,S33], Square2 = [S14,S15,S16,S24,S25,S26,S34,S35,S36], Square3 = [S17,S18,S19,S27,S28,S29,S37,S38,S39], Square4 = [S41,S42,S43,S51,S52,S53,S61,S62,S63], Square5 = [S44,S45,S46,S54,S55,S56,S64,S65,S66], Square6 = [S47,S48,S49,S57,S58,S59,S67,S68,S69], Square7 = [S71,S72,S73,S81,S82,S83,S91,S92,S93], Square8 = [S74,S75,S76,S84,S85,S86,S94,S95,S96], Square9 = [S77,S78,S79,S87,S88,S89,S97,S98,S99], valid(Row1,Row2,Row3,Row4,Row5,Row6,Row7,Row8,Row9, Col1,Col2,Col3,Col4,Col5,Col6,Col7,Col8,Col9, Square1,Square2,Square3,Square4,Square5,Square6,Square7,Square8,Square9).
反正我信了，我们来试试吧，就以上面我从百度上找到的那个图为例：
| ?- sudoku([_, 6, _, 5, 9, 3, _, _, _, 9, _, 1, _, _, _, 5, _, _, _, 3, _, 4, _, _, _, 9, _, 1, _, 8, _, 2, _, _, _, 4, 4, _, _, 3, _, 9, _, _, 1, 2, _, _, _, 1, _, 6, _, 9, _, 8, _, _, _, 6, _, 2, _, _, _, 4, _, _, _, 8, _, 7, _, _, _, 7, 8, 5, _, 1, _],Solution). Solution = [7,6,2,5,9,3,1,4,8,9,4,1,2,7,8,5,3,6,8,3,5,4,6,1,7,9,2,1,9,8,6,2,7,3,5,4,4,7,6,3,5,9,2,8,1,2,5,3,8,1,4,6,7,9,3,8,7,1,4,6,9,2,5,5,1,4,9,3,2,8,6,7,6,2,9,7,8,5,4,1,3]
美化后的结果是这样的：
[7,6,2,5,9,3,1,4,8, 9,4,1,2,7,8,5,3,6, 8,3,5,4,6,1,7,9,2, 1,9,8,6,2,7,3,5,4, 4,7,6,3,5,9,2,8,1, 2,5,3,8,1,4,6,7,9, 3,8,7,1,4,6,9,2,5, 5,1,4,9,3,2,8,6,7, 6,2,9,7,8,5,4,1,3]
Perfect!
八皇后问题
Ok，有了数独问题作为铺垫，下面看八皇后问题应该就应该没那么难了，请保持用Prolog思考问题的方式，解决后你会发现Prolog真是这方面的“专家”，Let's Go!
八皇后问题也是一个非常经典的问题：
八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。
老套路我们先描述游戏规则。
- 每个皇后有一个行号和列号，行号和列号的取值范围在1~8之间；
- 一个棋盘上有八个皇后；
- 任意两个皇后不可以共享一行；
- 任意两个皇后不可以共享一列；
- 任意两个皇后不可以在同一个对角线上（左下角->右上角）；
- 任意两个皇后不可以在同一个对角线上（右下角->左上角）。
在了解规则之后我们梳理一下这个问题，对照上面这个图：
我们给棋盘上每一个位置设定一个坐标(x,y)，八个皇后的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)……我们以回溯的角度看问题，假设如图已经得到了最后解，那么这8个坐标满足：x1，x2……各不相同，y1，y2……个不相同，找出(x1,y1)，(x2,y2)……中属于对角线1上的和对角线2上的位置，它们坐标应该个不相同。
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(5,7),(5,8) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(6,7),(6,8) (7,1),(7,2),(7,3),(7,4),(7,5),(7,6),(7,7),(7,8) (8,1),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5),(8,6),(8,7),(8,8)
所以整个问题的难点在于给定类似下面这样一个列表，我们需要找出其中的所有的行号，列号，和在对角线上的坐标：
[(1,1),(1,5),(2,5),(2,2),(8,8),(4,4),(4,5),(5,4)]
找出行号和列号稍微简单点，这里直接给出答案，大家也可以自己思考下：
rows([],[]). rows([(Row,_)|QueensTail],[Row|RowsTail]):- rows(QueensTail,RowsTail).
cols([],[]). cols([(_,Col)|QueensTail],[Col|ColsTail]):- cols(QueensTail,ColsTail).
把上面的列表代进去简单验证下：
| ?- rows([(1,1),(1,5),(2,5),(2,2),(8,8),(4,4),(4,5),(5,4)],Rows). Rows = [1,1,2,2,8,4,4,5] yes
| ?- cols([(1,1),(1,5),(2,5),(2,2),(8,8),(4,4),(4,5),(5,4)],Cols). Cols = [1,5,5,2,8,4,5,4] yes
关键是如何验证对角线上的元素，而且两条对角线是不一样的，提醒下因为我们最后会还是会利用fd_all_different这个谓词。
好吧，我们回过头观察下上面那个棋盘的坐标图（注意我标红的地方），有没有发现什么规则呢？
- 左上角到右下角的对角线上的元素：所有坐标的横坐标-纵坐标都相同，等于0；
- 左下角到右上角的对角线上的元素：所有坐标的横坐标+纵坐标都相同，等于9；
OK，我们可以定义下面这样两个谓词diags1和diags2：
diags1([],[]). diags1([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):- Diagonal is Col - Row, diags1(QueensTail,DiagonalsTail).
diags2([],[]). diags2([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):- Diagonal is Col + Row, diags2(QueensTail,DiagonalsTail).
我们可以简单验证下：
| ?- diags1([(2,2),(8,8)],Diags1). Diags1 = [0,0] yes
| ?- diags2([(4,5),(5,4)],Diags2).
Diags2 = [9,9]
yes
如果坐标在对角线上，那么抓取到的列表元素都是相等的。
好了，到目前为止我们已经完成了最难的部分，剩下的都是一些验证性工作。我们最终的“程序入口”应该是这样的：
eight_queens([(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),(X4,Y4),(X5,Y5),(X6,Y6),(X7,Y7),(X8,Y8)])
我们还需要一些验证性工作：
1.给定列表里的皇后是不是合法的，即横纵坐标都在1~8之内，这用到了我上一篇中提到的member谓词：
valid_queen((Row,Col)):- Range = [1,2,3,4,5,6,7,8], member(Row,Range),member(Col,Range).
2.验证给定的列表是不是八个皇后，这里用到一个length谓词，顾名思义：
length(Board,8).
3.需要递归的验证给定的列表中的每个元素是不是“皇后”：
valid_board([]).
valid_board([Head|Tail]):- valid_queen(Head),valid_board(Tail).
Ok，下面就是八皇后问题的答案的完整代码：
valid_queen((Row,Col)):- Range = [1,2,3,4,5,6,7,8], member(Row,Range),member(Col,Range). valid_board([]). valid_board([Head|Tail]):- valid_queen(Head),valid_board(Tail). rows([],[]). rows([(Row,_)|QueensTail],[Row|RowsTail]):- rows(QueensTail,RowsTail). cols([],[]). cols([(_,Col)|QueensTail],[Col|ColsTail]):- cols(QueensTail,ColsTail). diags1([],[]). diags1([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):- Diagonal is Col - Row, diags1(QueensTail,DiagonalsTail). diags2([],[]). diags2([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):- Diagonal is Col + Row, diags2(QueensTail,DiagonalsTail). eight_queens(Board) :- length(Board,8), valid_board(Board), rows(Board,Rows), cols(Board,Cols), diags1(Board,Diags1), diags2(Board,Diags2), fd_all_different(Rows), fd_all_different(Cols), fd_all_different(Diags1), fd_all_different(Diags2).
没错，答案已经出来，但事实上上面这个程序运行的非常慢，我在我i7的笔记本上的GNU Prolog中执行下面这个问题，半天没有响应：
| ?- eight_queens([(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),(X4,Y4),(X5,Y5),(X6,Y6),(X7,Y7),(X8,Y8)]).
其实我们可以对这个问题进行一个简化。我们可以肯定棋盘上八行每行肯定有一个皇后，又因为互不能在一行，因此我们假设八皇后的坐标分别为：(1,A),(2,B),(3,C),(4,D),(5,E),(6,F),(7,G),(8,H)。那么我们可以对上面的代码进行优化，去掉所有对行的操作，优化后代码如下：
valid_queen((Row,Col)):- member(Col,[1,2,3,4,5,6,7,8]). valid_board([]). valid_board([Head|Tail]):- valid_queen(Head),valid_board(Tail). cols([],[]). cols([(_,Col)|QueensTail],[Col|ColsTail]):- cols(QueensTail,ColsTail). diags1([],[]). diags1([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):- Diagonal is Col - Row, diags1(QueensTail,DiagonalsTail). diags2([],[]). diags2([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):- Diagonal is Col + Row, diags2(QueensTail,DiagonalsTail). eight_queens(Board) :- Board = [(1,_),(2,_),(3,_),(4,_),(5,_),(6,_),(7,_),(8,_)], length(Board,8), valid_board(Board), cols(Board,Cols), diags1(Board,Diags1), diags2(Board,Diags2), fd_all_different(Cols), fd_all_different(Diags1), fd_all_different(Diags2).
然后这样问问题：
eight_queens([(1,Y1),(2,Y2),(3,Y3),(4,Y4),(5,Y5),(6,Y6),(7,Y7),(8,Y8)]).
| ?- eight_queens([(1,Y1),(2,Y2),(3,Y3),(4,Y4),(5,Y5),(6,Y6),(7,Y7),(8,Y8)]). Y1 = 1 Y2 = 5 Y3 = 8 Y4 = 6 Y5 = 3 Y6 = 7 Y7 = 2 Y8 = 4 ? a Y1 = 1 Y2 = 6 Y1 = 2 Y2 = 7 Y3 = 3 Y4 = 6 Y5 = 8 Y7 = 6 Y8 = 3 Y1 = 2 Y2 = 8 Y3 = 6 Y4 = 1 Y5 = 3 Y6 = 5 Y7 = 7 Y8 = 4 Y1 = 3 Y2 = 1 Y3 = 7 Y4 = 5 Y5 = 8 Y6 = 2 Y7 = 4 Y8 = 6 …… Y1 = 8 Y2 = 3 Y3 = 1 Y4 = 6 Y5 = 2 Y6 = 5 Y7 = 7 Y8 = 4 Y1 = 8 Y2 = 4 Y3 = 1 Y4 = 3 Y5 = 6 Y6 = 2 Y7 = 7 Y8 = 5 (81860 ms) no
?后跟a可以一次性询问所有答案，可以看到还是相当的慢，这也算是声明式语言的一个劣势吧。
好了，今天介绍的两个问题就到此结束了。问题本身并不是重点，重点是我们思考问题的方式。
最后提供：源代码下载，希望大家可以喜欢Prolog这门小巧简单，功能强大的语言。