(170701) [南开大学2017数分] 设 $dps{x_n=sum_{k=1}^nf{ksin^2k}{n^2+ksin^2k}}$ ($n=1,2,cdots$). 求证: 数列 $sed{x_n}$ 收敛. (solution)
(170702)[南京大学2013数分] 在 $bR^4$ 中定义如下有界区域 $Om$: $$exOm=sed{(x,y,z,w)inbR^4; |x|+|y|+sqrt{z^2+w^2}leq 1}. eex$$ 计算 $Om$ 的体积. (solution)
(170703) [南京大学数分] 设 $sed{a_n}$ 为数列, $dps{S_n=sum_{k=1}^n a_k}$ 为部分和.
(1). 当
$dps{vlm{n}a_n=0}$ 时, 证明
$dps{vlm{n}f{S_n}{n}=0}$.
(2). 设 $sed{S_n}$ 有界, $dps{vlm{n}(a_{n+1}-a_n)=0}$, 证明 $dps{vlm{n} a_n=0}$.
(3). 当
$dps{vlm{n}f{S_n}{n}=0}$ 且 $dps{vlm{n}(a_{n+1}-a_n)=0}$ 时, 能否推出
$dps{vlm{n}a_n=0}$? 若能, 给出证明; 若不能, 请构造反例. (solution)
(170704) [武汉大学2017数分] 求 $dps{vlm{n}sum_{k=1}^n sex{e^f{k^2}{n^3}-1}}$. (solution)
(170705) [天津大学1979数分] 计算 $$ex oint_L x^2yz d x +(x^2+y^2) d y+(x+y+1) d z, eex$$ 其中 $L$ 为曲面 $x^2+y^2+z^2=5$ 和 $z=x^2+y^2+1$ 的交线, 从 $z$ 轴正向看 $L$ 是逆时针方向. (solution)
(170706) [(170705) 的另外解法: 通过 Stokes 公式] (solution)
(170707) [(170705) 的另外解法: 通过 Stokes 公式, 另外一张曲面] (solution)
(170708) 试证: $dps{vsmk{k}{0}f{2^kz^{2^k}}{1+z^{2^k}}=f{z}{1-z}}$, $forall z: |z|<1$. (solution)
(170709) [扬州大学2017数分] 设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续可导, $f(0)=f(1)=0$, 求证: $$ex sez{int_0^1 xf(x) d x}^2leq f{1}{45} int_0^1 [f'(x)]^2 d x, eex$$ 等号成立当且仅当 $f(x)=A(x-x^3)$ 时成立, 其中 $A$ 为常数. (solution)
(170710) 设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的可微凹函数, $f(a)=f(b)=0$, $f'(a)=al>0$, $f'(b)=e<0$. 试证: $$ex 0leq int_a^b f(x) d xleq f{1}{2}al e f{(b-a)^2}{e-al}. eex$$ (solution)
(170711) 试求 $$ex I=int_2^4frac{sqrt{ln (9-x)}}{sqrt{ln(9-x)}+sqrt{ln(x+3)}} d x. eex$$ (solution)
(170712) [中南大学2016数分] 已知球缺高维 $h$, 所在球半径为 $R$ 的球缺体积为 $dps{f{pi}{3}(3R-h)h^2}$. 现有一球体: $$ex (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2leq 12 eex$$ 被平面 $x+y+z=1$ 所截下的小球缺为 $Om$, 记球缺上的球冠为 $vSa$, 方向指向球外, 求第二型曲面积分: $$ex I=iint_vSa x d y d z+y d z d x+z d x d y. eex$$ (solution)