参考解答见: http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html
4.1.1 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 且 $f(x)>0$, 求极限 $vlm{n}sqrt[n]{fsex{f{1}{n}}fsex{f{2}{n}}cdots fsex{f{n-1}{n}}f(1)}$.
4.1.2 考虑积分 $dps{int_0^1 (1-x)^n d x}$, 证明 $$ex C_n^0-f{1}{2} C_n^1+f{1}{3}C_n^2-cdots+f{(-1)^n}{n+1}C_n^n =f{1}{n+1}. eex$$
4.1.3 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, 而且对任何 $xin (0,1)$ 有 $|f'(x)|leq M$. 求证: 对任何正整数 $n$ 有 $dps{int_0^1 f(x) d x-f{1}{n}sum_{i=1}^n fsex{f{i}{n}}leq f{M}{n}}$, 其中 $M$ 是一个与 $x$ 无关的常数. (南开大学)
4.1.4 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, $g(x)$ 是以 $T$ 为周期的函数, 且在 $[0,T]$ 上可积. 试证: $$ex vlm{n}int_a^b f(x)g(lm x) d x=f{1}{T}int_0^T g(x) d xint_a^b f(x) d x. eex$$
4.1.5 设 $s(x)=4[x]-2[2x]+1$ 其中 $[x]$ 代表数 $x$ 的整数部分 (即不超过 $x$ 的整数之最大值), $n$ 代表自然数, $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积. 证明 $$ex vlm{n}int_0^1 f(x)s(nx) d x=0.qwz{兰州大学} eex$$
4.1.6 设 $f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积, $f_0(x)>0$. $$ex f_n(x)=sqrt{int_0^x f_{n-1}(t) d t}, n=1,2,cdots. eex$$ 试求 $dps{vlm{n}f_n(x), (xin [0,1])}$.
4.1.7 设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$, $g(x)>0$. 求 $dps{vlm{p}sex{int_a^b g(x)f^p(x) d x}^f{1}{p^2}}$.
4.1.8 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二次可微, 且 $f''(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 记 $$ex B_n=int_a^b f(x) d x-f{b-a}{n}sum_{i=1}^n fsex{a+(2i-1)f{b-a}{2n}}. eex$$ 试证: $dps{vlm{n}n^2B_n=f{(b-a)^2}{24}[f'(b)-f'(a)]}$.
4.1.9 设 $$ex A_n=f{1}{n+1}+f{1}{n+2}+cdots+f{1}{2n},quad B_n=f{2}{2n+1}+f{2}{2n+3}+cdots+f{2}{4n-1}. eex$$ 试证: $$ex vlm{n}n[ln 2-A_n]=f{1}{4},quad vlm{n}n^2[ln 2-B_n]=f{1}{32}. eex$$
4.1.10 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 记 $dps{f_{in}=fsex{a+if{b-a}{n}}}$. 试利用不等式 $$ex |ln(1+x)-x|leq 2x, sex{|x|<f{1}{2}} eex$$ 证明 $dps{vlm{n}sex{1+f_{1n}f{b-a}{n}} sex{1+f_{2n}f{b-a}{n}}cdots sex{1+f_{nn}f{b-a}{n}}=e^{int_0^1 f(x) d x}}$.
4.1.11 设 $f(x)$ 是在 $[-1,1]$ 上可积在 $x=0$ 处连续的函数, 记 $dps{varphi_n(x)=seddm{ (1-x)^n,&0leq xleq 1,\ e^{nx},&-1leq xleq 0. }}$ 证明: $dps{vlm{n}f{n}{2}int_0^1 f(x)varphi_n(x) d x=f(0)}$. (浙江大学)
4.1.11 设 $dps{f(x)=int_x^{x^2} sex{1+f{1}{2t}}^t sinf{1}{sqrt{t}} d t (x>0)}$. 求 $dps{vlm{n}f(n)sin f{1}{n}}$. (福建师范大学)
4.2.1 设函数 $f(u)$ 在区间 $[A,B]$ 上连续, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 当 $xin [a,b]$ 时, $Aleq g(x)leq B$. 试用各种不同的方法证明 $f[g(x)]$ 在 $[a,b]$ 上可积.
4.2.2 试用多种方法证明 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积, 设 (1) $dps{f(x)=sgnsex{sinf{pi}{x}}}$; (2) $dps{f(x)=seddm{ f{1}{x}-sez{f{1}{x}},&x eq 0\ 0,&x=0 }}$.
4.2.3 若 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 试证 $maxsed{f(x),g(x)}$ 及 $minsed{f(x),g(x)}$ 在 $[a,b]$ 上亦可积.
4.2.4 试用定理 3 重新证明 Riemann 函数在 $[0,1]$ 上可积.
4.2.5 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, $[f(x)]$ 表示 $f(x)$ 的值取整数部分. 试问 $[f(x)]$ 在 $[a,b]$ 上是否一定可积.
4.2.6 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 试证: 对于 $[a,b]$ 上任一可积函数 $g(x)$, 恒有 $dps{int_a^b f(x)g(x) d x=0}$, 则函数 $f(x)$ 在连续点上恒为零.
4.2.7 设在 $[-1,1]$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足如下条件: 对 $[-1,1]$ 上的任意的偶连续函数 $g(x)$, 积分 $dps{int_{-1}^1 f(x)g(x) d x=0}$. 试证: $f(x)$ 是 $[-1,1]$ 上的奇函数. (武汉大学)
4.3.1 证明: (1) $dps{sqrt{2}e^{-frac{1}{2}}<int_{-frac{1}{sqrt{2}}}^{frac{1}{sqrt{2}}} e^{-x^2} d x<sqrt{2}}$; (2) $dps{0<frac{pi}{2}-int_0^frac{pi}{2} frac{sin x}{x} d x<frac{pi^3}{144}}$; (3) $dps{frac{2}{9}pi^2leq int_frac{pi}{6}^frac{pi}{2}frac{2x}{sin x} d xleq frac{4}{9}pi^2}$.
4.3.2 证明: $dps{0leq xleq frac{pi}{2}}$ 时, $dps{sin xleq x-frac{1}{3pi}x^3}$.
4.3.3 求证: $dps{f(x)=int_0^x (t-t^2)sin^{2n}t d t}$ ($n$ 为正整数) 在 $xgeq 0$ 上的最大值不超过 $dps{frac{1}{(2n+2)(2n+3)}}$. (西北大学)
4.3.4 把满足下述条件 (1) 和 (2) 的实函数 $f$ 的全体记作 $F$: (1) $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, 并且非负; (2) $f(0)=0$, $f(1)=1$. 试证明: $dps{inf_{fin F}int_0^1 f(x) d x=0}$, 但不存在 $varphiin F$, 使 $dps{int_0^1 varphi(x) d x=0}$. (厦门大学)
4.3.5 若 $f'(x)$ 在 $[0,2pi]$ 上连续, 且 $f'(x)geq 0$, 则对任意正整数 $n$, 有 $$ex sev{int_0^{2pi}f(x)sin nx d x}leq frac{2[f(2pi)-f(0)]}{n}. eex$$ (东北师范大学)
4.3.6 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, $f'(x)searrow$, $|f'(x)|geq m>0$, 试证: $$ex sev{int_a^b cos f(x) d x}leq frac{2}{m}. eex$$
4.3.7 $f(x) eq 0$, 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 证明至少存在点 $cin [a,b]$, 使 $$ex |f'(c)|>frac{4}{(b-a)^2}int_a^b |f(x)| d x. eex$$
4.3.8 将条件 $f(x) eq 0$ 换为 $f''(x)<0$, 重新证明例 4.3.5.
4.3.9 证明 $dps{int_0^frac{pi}{2} tsex{frac{sin nt}{sin t}}^4 d t<frac{pi^2n^2}{4}}$.
4.3.10 对自然数 $ngeq 2$, 证明 $$ex frac{1}{pi}int_0^frac{pi}{2}sev{frac{sin (2n+1)t}{sin t}} d t<frac{2+ln n}{2}. eex$$
4.3.11 函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 并且对于任何区间 $[al,eta]$ ($aleq al<etaleq b$), 不等式 $$ex sev{int_al^eta f(x) d x}leq M|eta-al|^{1+delta}quad (M,deltambox{ 是正常数}) eex$$ 成立. 证明: 在 $[a,b]$ 上, $f(x)equiv 0$. (国外赛题)
4.3.12 证明: 若 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数, 且对一切 $xin [0,1]$ 有 $dps{int_0^x f(u) d ugeq f(x)geq 0}$, 则 $f(x)equiv 0$. (上海师范大学)
4.3.13 证明: 如果在 $(-infty,+infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足 $$ex int_x^{x+1}f(x) d t=0, eex$$ 那么 $f(x)$ 是周期函数.
4.3.14 设 $f(x)$ 处处连续, $dps{F(x)=frac{1}{2delta}int_{-delta}^delta f(x+t) d t}$, 其中 $delta$ 为任何正数. 证明: (1) $F(x)$ 对任何 $x$ 有连续导数; (2) 在任意闭区间 $[a,b]$ 上, 当 $delta$ 足够小时, 可使 $F(x)$ 与 $f(x)$ 一致逼近 (即任给 $ve>0$, 对一切 $xin [a,b]$ 均有 $|F(x)-f(x)|<ve$). (华东师范大学)
4.3.15 $[a,b]$ 上的连续函数列 $varphi_1,varphi_2,cdots,varphi_n,cdots$ 满足 $dps{int_a^b varphi_n^2(x) d x=1}$. 证明: 存在自然数 $N$ 及定数 $c_1,c_2,cdots,c_N$ 使 $dps{sum_{k=1}^N c_k^2=1}$, $dps{max_{xin [a,b]} sev{sum_{k=1}^n c_kvarphi_k(x)}>100}$. (扬州师范学院)
4.3.16 按牛顿二项式展开及代换 $x=sin t$ 两种方法计算积分 $dps{int_0^1 (1-x^2)^n d x}$ ($n$ 为正整数). 并由此说明: $$ex sum_{k=0}^n C_n^k(-1)^k frac{1}{2k+1}=frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}. eex$$
4.3.17 设在 $dps{sex{0,frac{pi}{2}}}$ 内连续函数 $f(x)>0$, 且满足 $$ex f^2(x)=int_0^x f(t)frac{ an t}{sqrt{1+2 an^2t}} d t. eex$$ 求 $f(x)$ 的初等函数表达式. (复旦大学)
4.3.18 设 $dps{lim_{x o 0}frac{1}{bx-sin x}int_0^x frac{t^2}{sqrt{a+t^2}} d t=1}$, 试求正常数 $a$ 与 $b$. (华中师范大学)
4.3.19 求 $dps{lim_{x o +infty} int_x^{x+2} tsex{sin frac{3}{t}}f(t) d t}$, 其中 $f(x)$ 可微, 且已知 $dps{lim_{t o+infty}f(t)=1}$. (中国科学技术大学)
4.3.20 设 $a>0$, 函数 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续可微, 证明: $$ex |f(0)|leq frac{1}{a}int_0^a |f(x)| d x+int_0^a |f'(x)| d x. eex$$ (华中师范大学)
4.3.21 设 $f(x)$ 的一阶导数在 $[0,1]$ 上连续, 且 $f(0)=f(1)=0$, 求证: $dps{sev{int_0^1 f(x) d x}leq frac{1}{4}max_{0leq xleq 1}|f'(x)|}$. (清华大学)
4.3.22 设 $fin C[0,1]$ (即 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续), 且在 $(0,1)$ 上可微, 若有 $dps{8int_frac{7}{8}^1 f(x) d x=f(0)}$, 证明: 存在 $xiin (0,1)$, 使得 $f'(xi)=0$. (北京大学)
4.3.23 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$. 又 $dps{F(x)=int_a^x f(t) d t+int_b^x frac{1}{f(t)} d t}$. 试证: (1) $F'(x)geq 2$; (2) $F(x)=0$ 在 $[a,b]$ 中有且仅有一个实根. (华中师范大学)
4.3.24 设 $dps{f(x)=int_x^{x+1}sin t^2 d t}$, 求证: $x>0$ 时, $dps{|f(x)|<frac{1}{x}}$. (北京工业大学)
4.3.25 设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续, $$ex lim_{h o 0}frac{1}{h^3}int_0^h [f(x+u)+f(x-u)-2f(x)] d u=0,quad(xin [a,b]), eex$$ 试证 $f(x)$ 为线性函数.
4.3.26 设 $f(x)$ 是 $[-pi,pi]$ 上的凸函数, $f'(x)$ 有界. 求证: $$ex a_{2n}=frac{1}{pi}int_{-pi}^pi f(x)cos 2nx d xgeq 0;quad a_{2n+1}=frac{1}{pi}int_{-pi}^pi f(x)cos (2n+1)x d xleq 0. eex$$
4.3.27 设 $f(x)$ 是 $[0,2pi]$ 上的凸函数, $f'(x)$ 有界. 求证: $$ex a_n=frac{1}{pi}int_0^{2pi} f(x)cos nx d xgeq 0. eex$$
4.3.28 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续. 试证: $f(x)$ 为凸的充分必要条件是 $$ex f(x)leqfrac{1}{2h}int_{-h}^h f(x+t) d t eex$$ 对 $forall [x-h,x+h]subset [a,b]$ 时成立.
4.4.1 证明: $dps{0.83<int_0^1frac{ d x}{sqrt{1+x^4}}<0.95}$.
4.4.2 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可微, $f(a)=0$. 试证: $$ex M^2leq (b-a)int_a^b f'^2(x) d x, eex$$ 其中 $dps{M=sup_{aleq xleq b}|f(x)|}$.
4.4.3 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微, 并且 $f(1)-f(0)=1$. 证明 $$ex int_0^1 f'^2(x) d xgeq 1. eex$$ (国外赛题)
4.4.4 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可微 ($0<a<b$), $f(a)=f(b)=0$, $dps{int_a^b f^2(x) d x=1}$. 试证: $$ex int_a^b x^2f'^2(x) d x>frac{1}{4}. eex$$
4.4.5 试证: $$ex 0<q<p a ln frac{p}{q}leq frac{p-q}{sqrt{pq}}. eex$$
4.4.6 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有连续导数, $f(a)=f(b)=0$. 试证: $$ex int_a^b |f(x)f'(x)| d xleq frac{b-a}{4}int_a^b f'^2(x) d x, eex$$ 并且 $dps{frac{b-a}{4}}$ 不能再小.
4.4.7 若 $u_1,u_2,cdots,u_ngeq 0$, $u_1cdot u_2cdots u_n=1$, 则有 $u_1+u_2+cdots+u_ngeq n$. 试证明这一结论, 并由它导出定理 3 (平均值定理).
4.4.8 设 $x_1,x_2,cdots,x_n$ 是正数, 且 $ngeq 1$. 证明: $$ex sqrt[n]{x_1x_2cdots x_n}leq frac{1}{frac{1}{n}sex{frac{1}{x_n}+cdots +frac{1}{x_n}}}. eex$$ (中山大学)
4.4.9 设 $f(x)$ $ earrow$ 连续 (当 $xgeq 0$ 时), $f(0)=0$, $a,bgeq 0$, 试证: $ableq af(a)+bf^{-1}(b)$.
4.4.10 若 $forall i,j$ 有 $(a_i-a_j)(b_i-b_j)geq 0$, 则 $a_i,b_i$ 称为似序的. 若恒有相反的不等式, 则称之为反序的. 试证: $a_i,b_i$ 似序时 $$ex sum_{i=1}^n a_icdot sum_{i=1}^n b_ileq n sum_{i=1}^n a_ib_i, eex$$ $a_i,b_i$ 反序时不等式反号. 等号当且仅当 $a_1=cdots=a_n$ 或 $b_1=cdots =b_n$ 时成立. (Chebyshev)
4.5.1 计算 (1) $dps{int_a^b frac{ d x}{sqrt{(x-a)(b-x)}} (b>a)}$. (2) $dps{int_{-1}^1 frac{ d x}{(a-x)sqrt{1-x^2}} (a>1)}.$
4.5.2 计算 $dps{int_{-infty}^{+infty}frac{ d x}{(x^2+2x+2)^n}}$. (中国科学院)
4.5.3 求 $dps{int_0^infty f(x^p+x^{-p}) frac{ln x}{1+x^2} d x}$ (函数 $f(x)$ 连续).
4.5.4 计算 $dps{int_0^1 frac{arcsin x}{x} d x}$.
4.5.5 计算 $dps{int_0^frac{pi}{2} frac{sin (2k-1)x}{sin x} d x}$.
4.5.6 证明 $dps{int_0^infty fsez{sex{Ax-frac{B}{x}}^2} d x=frac{1}{A}int_0^infty f(y^2) d y}$ (其中左、右积分存在, 且 $A,B>0$).
4.5.7 研究下列积分的收敛性: (1) $dps{int_{-infty}^{+infty} x^ne^{-sex{x^2+frac{1}{x^2}}} d x}$ ($n$ 为自然数). (2) $dps{int_0^{+infty} sin^2sez{pisex{x+frac{1}{x}}} d x}$.
4.5.8 设 $f(x)$ 在 $[a,infty)$ 上可微; 且 $x oinfty$ 时, $f'(x)$ 单调递增趋于 $+infty$, 则 $$ex int_a^infty sin f(x) d x,quad int_a^infty cos f(x) d x eex$$ 都收敛.
4.5.9 设 $f(x)$ 为连续实值函数, 对所有 $x$, 有 $f(x)geq 0$, 且 $dps{int_0^infty f(x) d x<+infty}$, 求证: $$ex frac{1}{n}int_0^n xf(x) d x o 0quadsex{n oinfty}. eex$$ (中国科学院)
4.5.10 证明 $dps{lim_{x oinfty}int_0^infty frac{e^{-tx}}{1+t^2} d t=0}$.
4.5.11 设 $f(x)$ 是 $0leq x<infty$ 上的非负连续函数并满足 (1) 在 $0leq x<infty$ 上存在有界导数 $f'(x)$; (2) $dps{int_0^infty f(x) d x<infty}$. 求证: $dps{lim_{x o+infty}f(x)=0}$. (山东大学)
4.5.12 $f(x)$ 在 $[a,+infty)$ 上连续且 $dps{int_a^{+infty}f(x) d x}$ 收敛. 问能否断定: $exists x_n oinfty$, 使 $dps{vlm{x}f(x_n)=0}$? 为什么? (南开大学)
4.5.13 设 $f(x)$ 于任一有限区间 $[0,a] (a>0)$ 上正常可积, 于 $[0,infty)$ 上绝对可积, 则 $$ex vlm{n}int_0^infty f(x)|sin nx| d x =frac{2}{pi}int_0^infty f(x) d x. eex$$ (南京大学)
4.5.14 若函数 $p(t)$ 在 $[0,infty)$ 连续, 且当 $t o+infty$ 时, $p(t)=o(t^N)$ ($N$ 为正整数). 又 $lm<0$, 证明: 当 $t oinfty$ 时, $$ex int_t^infty p( au)e^{lm au} d au=o(t^{N+1})e^{lm t}. eex$$ (北京师范大学)
4.5.15 $sed{C_n^k}_{k=0}^n$ 而二项式系数, $A_n,G_n$ 分别表示它们的算术平均值与几何平均值. 试证: $$ex vlm{n}sqrt[n]{A_n}=2,quad vlm{n}sqrt[n]{G_n}=sqrt{e}. eex$$
4.5.16 例 4.5.37 的逆命题不成立, 即 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调, $dps{vlm{n}frac{1}{n}sum_{i=1}^{n-1} fsex{frac{i}{n}}}$ 存在, $dps{int_0^1 f(x) d x}$ 可以不收敛.
4.5.17 已知积分 $dps{int_0^infty frac{sin eta x}{x} d x=frac{pi }{2}sgn eta}$ (见例 7.1.38), 求积分 $dps{int_0^infty frac{sin xcos xt}{x} d x}$. (华北电力学院)
4.5.18 证明: $$ex int_0^infty frac{ d x}{1+x^4}=int_0^infty frac{x^2}{1+x^4} d x=frac{pi}{2sqrt{2}}. eex$$ (北京航空航天大学)