(170430) 令 $dps{B(m,n)=sum_{k=0}^n C_n^k frac{(-1)^k}{m+k+1}}$, $m,ninbN^+$. (1) 证明 $B(m,n)=B(n,m)$; (2) 计算 $B(m,n)$.
(170429) 设 $ninbN^+$, 计算积分 $dps{int_0^{pi/2} frac{sin nx}{sin x} d x}.$
(170428) 设 $fin C(-infty,+infty)$, 定义 $dps{F(x)=int_a^b f(x+t)cos t d t}$, $aleq xleq b$. (1) 证明: $F$ 在 $[a,b]$ 上可导; (2) 计算 $F''(x)$.
(170427) 设 $fin C^2[0,pi]$, 且 $f(pi)=2$, $dps{int_0^pi [f(x)+f''(x)]sin x d x=5}$. 求 $f(0)$.
(170426) 设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续非负函数, 找出满足条件 $$ex int_0^1 f(x) d x=1,quad int_0^1 xf(x) d x=a,quad int_0^1 x^2f(x) d x=a^2 eex$$ 的所有 $f$, 其中 $a$ 为给定实数.
(170425) For $2<q<infty$, $$eex ea -int lap bu cdot |bu|^{q-2}bu &=int p_iu_j p_isex{|bu|^{q-2}u_j}\ &=int p_iu_j p_i|bu|^{q-2}u_j+int p_iu_j|bu|^{q-2}p_iu_j\ &=frac{1}{2}int p_i|bu|^2cdot p_i|bu|^{q-2} +int |bu|^{q-2}| bu|^2\ &=frac{q-2}{2}int |bu|p_i|bu|cdot |bu|^{q-3}p_i|bu| +int |bu|^{q-2}| bu|^2\ &=frac{q-2}{2}int |bu|^{q-2}| |bu||^2 +int|bu|^{q-2}| bu|^2\ &=frac{2(q-2)}{q^2}int ||bu|^{frac{q}{2}-1}|^2 +int |bu|^{q-2}| bu|^2;\ frac{ d}{ d t}|bu|^q &=frac{ d}{ d t}(|bu|^2)^frac{q}{2}\ &=frac{q}{2}(|bu|^2)^{frac{q}{2}-1}cdot 2bufrac{ d bu}{ d t}\ &=q|bu|^{q-2} bu cdot frac{ d bu}{ d t}. eea eeex$$
(170424) 设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续正函数, 且 $dps{f^2(t)leq 1+2int_0^t f(s) d s}$. 证明: $f(t)leq 1+t$.
(170423) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且满足条件 $dps{f(1)=3int_0^{1/3} e^{x-1}f(x) d x}$, 证明: 存在 $xiin (0,1)$, 使得 $f(xi)+f'(xi)=0$.
(170422) 已知函数 $f(x)=ln x-ax$, 其中 $a$ 为常数. 如果 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$. 试证: $x_1x_2>e^2$.
(170421) $$eex ea int lap f|f|^{q-2}f d x &=-int fcdot sez{(q-2)|f|^{q-3}frac{f}{|f|} fcdot f +|f|^{q-2} f} d x\ &=-int (q-2)|f|^{q-4}|f|^2| f|^2 +|f|^{q-2}| f| d x\ &=-(q-1)int |f|^{q-2}| f|^2 d x\ &=-(q-1)int |f|^{q-2}| |f||^2 d xquadsex{ |f|=frac{f}{|f|} f}\ &=-(q-1)int | |f|^{frac{q}{2}-1} |f| |^2 d x\ &=-frac{4(q-1)}{q^2} int| |f|^{frac{q}{2}} |^2 d x. eea eeex$$
(170420) 设 $ A $ 为 $n$ 阶正定矩阵, $ x $, $ y $ 为 $n$ 维列向量且满足 $ x ^t y >0$. 试证: 矩阵 $$ex M= A +frac{ x x ^t}{ x ^t y } -frac{ A y y ^t A }{ y ^t A y } eex$$ 正定.
(170419) 设 $f(x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的增函数. 再设 $x_0in [a,b)$, 而点列 $sed{x_n}$ 满足: $x_n>x_0$, $dps{vlm{n}x_n=x_0}$. 求证: $dps{vlm{n}f(x_n)}$ 存在.
(170418) 设 $ X , Y $ 分别为 $m imes n$ 与 $n imes m$ 阵, 且 $$ex Y X = E _n,quad A = E _m+ X Y . eex$$ 证明: $ A $ 相似于对角阵.
(170417) 设 $A,B$ 都是实反对称矩阵, 且 $A$ 可逆, 则 $|A^2-B|>0$.
(170416) 如果 $$ex sen{ ^2 u_n}_{L^infty(0,T;L^2(Om))}leq C, eex$$ 则 $$ex sen{ ^2 u_n}_{L^2(Om imes (0,T))}leq C, eex$$ 而有子列弱收敛 $$ex ^2u_{n_k} ightharpoonup ^2u,mbox{ in }L^2(Om imes (0,T)). eex$$
(170415) [熊金城点集拓扑习题7-2-01] 设 $X$ 是一个 Hausdorff 空间, $scrA$ 是它的一个非空集族, 且由 $X$ 的紧致子集构成. 证明: $dps{igcap_{AinscrA}A}$ 是 $X$ 的一个紧致子集.
(170414) [熊金城点集拓扑习题7-1-10] 设 $U$ 是拓扑空间 $X$ 中的一个开集. 证明: 如果 $X$ 中的一个由紧致闭集构成的集族 $scrB$ 满足条件 $igcap_{Bin scrB}Bsubset U$, 则存在 $scrB$ 的一个有限子族 $sed{B_1,B_2,cdots,B_n}$ 满足条件 $$ex B_1cap cdots cap B_nsubset U. eex$$
(170413) [熊金城点集拓扑习题6-1-05] 设 $X$ 是一个拓扑空间, 证明: $X$ 是 $T_1$ 空间当且仅当对于任何 $xin X$, 点 $x$ 的所有邻域的交恰是单点集 $sed{x}$.
(170412) [熊金城点集拓扑习题6-1-01] 设 $X$ 是一个拓扑空间, 证明: $X$ 是 $T_0$ 空间当且仅当对于任何 $x,yin X$, $x eq y$, 或者 $sed{x}cap overline{sed{y}}=vno$ 或者 $sed{y}cap overline {sed{x}}=vno$.
(170411) [熊金城点集拓扑习题5-3-01] 设 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间, $f:X o Y$ 是一个连续映射. 证明: 如果 $X$ 是一个 Lindeloff 空间, 则 $f(X)$ 也是一个 Lindeloff 空间.
(170410) [熊金城点集拓扑习题5-2-04] 设 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间, $f:X o Y$ 是一个连续映射. 证明: 如果 $X$ 是一个可分空间, 则 $f(X)$ 也是可分的. (这说明可分性是一个连续映射所保持的性质, 并且由此可见, 它是一个拓扑不变性质, 可商性质.)
(170409) [熊金城点集拓扑习题5-1-06] 设 $X$ 是一个满足第一可数性公理的空间, $Asubset X$. 证明 $A$ 是一个开子集当且仅当对于 $X$ 中的任何一个序列 $sed{x_i}$, 只要 $dps{vlm{i}x_i=xin A}$, 则存在 $N>0$ 使得当 $igeq N$ 时有 $x_iin A$.
(170408) [熊金城点集拓扑习题4-5-01] 设 $Asubset bR$, 试证: $A$ 是连通的 $lra A$ 是道路连通的.
(170407) [熊金城点集拓扑习题4-4-02] 证明: 任何一个有限补空间和任何一个可数补空间都是局部连通空间.
(170406) [熊金城点集拓扑习题4-3-01] 设 $X$ 是一个拓扑空间, $x,yin X$ 是连通的. 证明: 如果 $E$ 是一个既开又闭的子集, 则或者 $x,yin E$ 或者 $x,y otin E$. (此命题的逆命题不成立, 见下题.)
(170405) [熊金城点集拓扑习题4-1-01] 设 $A$ 和 $B$ 是拓扑空间 $X$ 的隔离子集, 证明: 如果 $A_1subset A$, $B_1subset B$, 则 $A_1$ 和 $B_1$ 也是隔离子集.
(170404) [熊金城点集拓扑习题3-3-05] 设 $X, Y$ 是两个拓扑空间, $f:X o Y$ 是商映射. 令 $R=sed{(x,y)in X^2; f(x)=f(y)}$. 试证: (1) $R$ 是 $X$ 中的一个等价关系; (2) $Y$ 同胚于商空间 $X/R$.
(170403) 试求 [iint_{x^2+y^2leq R^2}e^xcos y d x d y.]
(170402) [北京大学数学系数学分析习题集05-09] 设 $f(x)$ 在 $(-infty,+infty)$ 上 $n$ 次可微, 且 $$ex |f(x)|leq M_0,quad |f^{(n)}(x)|leq M_n,quad (M_0,M_nmbox{ 为常数}). eex$$ 求证: (1) $f'(x),cdots, f^{(n-1)}(x)$ 在 $(-infty,+infty)$ 上有界; (2) $|f^{(k)}(x)|leq 2^f{k(n-k)}{2} M_0^{1-f{k}{n}}M_n^f{k}{n}, (0leq kleq n)$.
(170401) [南开大学 2014 年高等代数考研试题] 设 $f(x)$ 为 $A$ 的特征多项式, 且存在互素的次数分别为 $p,q$ 的多项式 $g(x),h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$. 求证: $$ex [g(A)]=q,quad [h(A)]=p. eex$$