定理. 调和级数 $dps{vsm{n}frac{1}{n}}$ 是发散的.
证明. 设 $$ex a_n=sum_{k=1}^nfrac{1}{k}, eex$$ 则 $a_n$ 递增, 而 $dps{vlm{n}a_n=lin (1,infty]}$. 若 $lin (0,infty)$, 则 $$ex vsm{n}frac{1}{2n}=frac{1}{2}vsm{n}frac{1}{n}=frac{l}{2}, eex$$ $$ex vsm{n}frac{1}{2n-1}=vsm{n}frac{1}{n}-vsm{n}frac{1}{2n} =l-frac{1}{2} =frac{l}{2}. eex$$ 于是 $$ex frac{l}{2}=vsm{n}frac{1}{2k}<vsm{n}frac{1}{2n-1}=frac{l}{2}. eex$$ 这是一个矛盾. 而 $l=infty$.
2015年7月4号 张祖锦 赣南师范学院数学与计算机科学学院 邮箱: zhangzujin361@163.com