$f(x) eq 0$, 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 证明至少存在点 $cin [a,b]$, 使 $$ex |f'(c)|>frac{4}{(b-a)^2}int_a^b |f(x)| d x. eex$$
证明: $$eex ea int_a^b |f(x)| d x&=int_a^frac{a+b}{2}sev{int_a^x f'(t) d t} d x +int_frac{a+b}{2}^b sev{int_x^b f'(t) d t} d x\ &leq int_a^frac{a+b}{2}int_a^x sev{f'(t)} d t d x +int_frac{a+b}{2}^b int_x^b sev{f'(t)} d t d x\ &leq max_{sez{a,frac{a+b}{2}}}|f'|cdot int_a^frac{a+b}{2} (x-a) d x +max_{sez{frac{a+b}{2},b}}|f'|cdot int_frac{a+b}{2}^b (b-x) d x\ &=frac{(b-a)^2}{8}sez{max_{sez{a,frac{a+b}{2}}}|f'|,max_{sez{frac{a+b}{2},b}}|f'|}\ &leq frac{(b-a)^2}{4}max_{[a,b]}|f'|. eea eeex$$ 若等号成立, 则
(1). $f'(x)$ 在 $dps{sez{a,frac{a+b}{2}}}$ 上不变号, $f'(x)$ 在 $dps{sez{frac{a+b}{2},b}}$ 上也不变号;
(2). $|f'(x)|$ 在 $dps{sez{a,frac{a+b}{2}}}$ 为常数, $|f'(x)|$ 在 $dps{sez{frac{a+b}{2},b}}$ 上也为常数;
(3). $dps{max_{sez{a,frac{a+b}{2}}}|f'|=max_{sez{frac{a+b}{2},b}}|f'|}$.
这些条件及 $f(a)=f(b)=0$ 蕴含 $fequiv 0$.