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研究下列积分的收敛性:
(1). $dps{int_{-infty}^{+infty} x^ne^{-sex{x^2+frac{1}{x^2}}} d x}$ ($n$ 为自然数).
(2). $dps{int_0^{+infty} sin^2sez{pisex{x+frac{1}{x}}} d x}$.
解答:
(1). $$ex int_{-infty}^{+infty}x^ne^{-sex{x^2+frac{1}{x^2}}} d x =int_{-infty}^{-1}+int_{-1}^0 +int_0^1+int_1^{+infty} x^ne^{-sex{x^2+frac{1}{x^2}}} d x =I_1+I_2+I_3+I_4. eex$$ 对 $I_1,I_4$, 由 $$ex |x^ne^{-sex{x^2+frac{1}{x^2}}}| leq |x|^n e^{-|x|^2}, quad lim_{|x| o infty} frac{|x|^ne^{-|x|^2}}{1/|x|^2} =lim_{t o+infty} frac{t^{n+2}}{e^{t^2}}=0 eex$$ 及比较判别法即知 $I_1,I_4$ 绝对收敛. 而对 $I_2,I_3$, 由 $$ex vlm{x} x^ne^{-sex{x^2+frac{1}{x^2}}}=0 eex$$ 知被积函数延拓定义 $x=0$ 后在 $[-1,1]$ 上连续. 综上, 原反常积分绝对收敛.
(2). 令 $$ex f(x)=x+frac{1}{x},quad f^{-1}(y)=frac{y+sqrt{y^2-4}}{2},quad xgeq 1, ygeq 2. eex$$ 则对 $forall kinbN$, 取 $$ex A_k=f^{-1}sex{2k+frac{1}{4}},quad B_k=f^{-1}sex{2k+frac{3}{4}}, eex$$ 有 $$ex A_kleq xleq B_k a 2k+frac{1}{4}leq f(x)=x+frac{1}{x}leq 2k+frac{3}{4} a sin^2sez{pisex{x+frac{1}{x}}}geq frac{1}{2}, eex$$ $$eex ea int_{A_k}^{B_k}sin^2sez{pisex{x+frac{1}{x}}} d x &geq frac{1}{2}(B_k-A_k)\ &=frac{1}{2}sez{f^{-1}(z_k)-f^{-1}(y_k)}quadsex{z_k=2k+frac{3}{4}, y_k=2k+frac{1}{4}}\ &=frac{1}{4}sez{z_k-y_k+sqrt{z^2-4}-sqrt{y_k^2-4}}\ &geq frac{1}{4}(z_k-y_k)\ &= frac{1}{8}. eea eeex$$ 由 $A_k o +infty (k oinfty)$ 及 Cauchy 收敛准则即知原积分发散.