试求曲线 $f(x)=xe^frac{1}{x^2}$ 的渐近线.
解答: 由 $$ex lim_{x o +infty}f(x)=+infty,quad lim_{x o -infty}f(x)=-infty eex$$ 知曲线没有水平渐近线. 又由 (这里我们利用了 L'Hospital 法则) $$ex lim_{x o 0^+}f(x)=lim_{t o +infty} frac{e^{t^2}}{t} =lim_{t o +infty} 2t e^{t^2} =+infty, eex$$ $$ex lim_{x o 0^-}f(x)=-infty eex$$ 知曲线有垂直渐近线 $x=0$. 最后, 由 $$ex lim_{x o infty}frac{f(x)}{x}=lim_{x oinfty}e^frac{1}{x^2}=1, eex$$ $$ex lim_{x o infty}[f(x)-x] =lim_{x o infty}x[e^frac{1}{x^2}-1] =lim_{t o 0}frac{e^{t^2}-1}{t} =lim_{t o 0} 2te^{t^2} =0 eex$$ 知曲线有斜渐近线 $y=x$. 综上, 原曲线仅有两条渐近线 $y=0$, $y=x$.