数学分析 (三选二)
1. 计算 $$ex int frac{1}{1+sin x} d x,quad iint_{x^2+4y^2leq 2x} sqrt{1-x^2-4y^2} d x d y. eex$$
2. 设 $sed{a_n}$ 为单调递增正数列, 试证: $$ex vsm{n}sex{frac{a_{n+1}}{a_n}-1}mbox{ 收敛 }lra sed{a_n} mbox{ 有界}. eex$$
3.
(1). 对任给的实数 $x$ 及正整数 $N>1$, 存在整数 $p,q: 0<q<N$, 使得 $$ex |qx-p|<frac{1}{N}. eex$$
(2). 若 $x$ 为无理数, 则存在无穷多个有理数 $p/q (q>0)$, 使得 $$ex sev{x-frac{p}{q}}<frac{1}{q^2}. eex$$
线性代数 (三选二)
1. 设 $V$ 是一个有限维线性空间, $U,W$ 均为 $V$ 的子空间. 试证: 存在 $V$ 的一组基 $B$, 使得 $Bcap W$ 为 $W$ 的一组基, $Bcap U$ 为 $U$ 的一组基.
2. 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, 且不可对角化. 试证: 存在方阵 $B$ 使得 $$ex AB=BA,quad B^n=0. eex$$
3. 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, 且有 $n$ 个两两不同的特征值, 对于 $$ex a{rl} scrA: M_n(bC)& o M_n(bC)\ X&mapsto AX-XA, ea eex$$ 试证: $scrA$ 可对角化, 并求 $scrA$ 的秩.
复变函数 (三选二)
1. 设 $ninbN^+$, 试求 $$ex frac{p |z|^n}{p ar z}. eex$$
2. 证明或否定: $$ex frac{sin z}{z^p} eex$$ 在 $bCssed{0}$ 上有原函数 $lra p$ 为奇数.
3. 证明或否定: $$ex vsm{n}sin (z^n) eex$$ 在单位圆内绝对且内闭一致收敛.