设 $fin C[0,1]$, $f(0)=f(1)$. 试证: $$ex forall 2leq ninbN, exists xi_nin [0,1],st fsex{xi_n+frac{1}{n}}=f(xi_n). eex$$
证明: 设 $$ex F(x)=fsex{x+frac{1}{n}}-f(x), eex$$ 则 $$ex F(0)+Fsex{frac{1}{n}}+cdots+Fsex{frac{n-1}{n}}=f(1)-f(0)=0. eex$$
(1). 若 $$ex exists 0leq kleq n-1,st Fsex{frac{k}{n}}=0, eex$$ 则取 $dps{xi_n=frac{k}{n}}$ 即可.
(2). 若 $$ex forall 0leq kleq n-1, Fsex{frac{k}{n}} eq 0. eex$$ 则 $$ex exists i eq j,st Fsex{frac{i}{n}}cdot Fsex{frac{j}{n}}<0. eex$$ 由连续函数介值定理, 存在 $xi_n$ 在 $dps{frac{i}{n},frac{j}{n}}$ 之间, 使得 $F(xi_n)=0.$