在第 2.3 节中, 我们已经知道, 对 $$eelabel{ode} M(x,y) d x+N(x,y) d y=0 eee$$而言,
1. 若 $M_y=N_x$, 则 eqref{ode} 为恰当 ode, 而可通过求解 pde 组 $$ex u_x=M,quad u_y=N eex$$ 求出 $u$, 而 eqref{ode} 的通解为 $u=C$.
2. 若 $M_y eq N_x$, 则再若
(1). $dps{frac{M_y-N_x}{N}=varphi(x)}$, 则 eqref{ode} 有积分因子 $e^{int varphi(x) d x}$;
(2). $dps{frac{M_y-N_x}{-M}=psi(y)}$, 则 eqref{ode} 有积分因子 $e^{int psi(y) d y}$.
上述讨论了仅含有 $x$ 或 $y$ 的积分因子. 现在我们讨论下另一求解方法, 叫做分组求积分因子法. 设 eqref{ode} 的左端可分成两组, $$eelabel{ode_two} (P_1 d x+Q_1 d y) +(P_2 d x+Q_2 d y)=0, eee$$其中第一、第二组各有积分因子 $mu_1,mu_2$, 即 $$ex mu_1(P_1 d x+Q_1 d y)= d u_1,quad mu_2(P_2 d x+Q_2 d y)= d u_2. eex$$ 若存在可微函数 $g_1,g_2$ 使得 $$ex mu_1g_1(u_1)=mu_2g_2(u_2), eex$$ 则 $mu=mu_1g_1(u_1)$ 是 eqref{ode_two} 的积分因子. 事实上, $$eex ea &quad mu[(P_1 d x+Q_1 d y)+(P_2 d x+Q_2 d y]\ &=g_1(u_1) d u_1+g_2(u_2) d u_2\ &= d sex{int g(u_1) d u_1+int g(u_2) d u_2}. eea eeex$$
例: 求解 ode $$eelabel{examp} x(4y d x+2x d y)+y^3(3y d x+5x d y)=0. eee$$
解: 设 $$ex P_1=4xy,quad Q_1=2x^2;quadquad P_2=3y^4,quad Q_2=5xy^3. eex$$ 则 $$ex P_{1,y}-Q_{1,x}=0,quad P_{2,y}-Q_{2,x}=12y^3-7y^3=7y^3. eex$$ 据此, 第一组有积分因子 $mu_1=1$, $$ex mu_1(P_1 d x+Q_1 d y)= d u_1,quad u_1=2x^2y, eex$$ 第二组有积分因子 $mu_2=e^{int frac{7}{5x} d x}=x^frac{7}{5}$, $$ex mu_2(P_2 d x+Q_2 d y)= d u_2,quad u_2=frac{5}{4} x^frac{12}{5}y^4. eex$$ 注意到 $$ex 1cdot frac{1}{2}sex{frac{5}{4}}^frac{1}{4}2x^2y =x^frac{7}{5}cdot sex{frac{5}{4} x^frac{12}{5}y^4}^frac{1}{4}, eex$$ (取 $$ex g_1(u_1)=frac{1}{2}sex{frac{5}{4}}^frac{1}{4}u_1,quad g_2(u_2)=u_2^frac{1}{4} eex$$ 即可) 我们知 eqref{examp} 有积分因子 $x^2y$ (常数没有关系, 可化为 $1$): $$eex ea 0&=x^2y[x(4y d x+2x d y)+y^3(3y d x+5x d y)]\ &=(4x^3y^2 d x+2x^4y d y) +(3x^2y^5 d x+5x^3y^4 d y)\ &= d (x^4y^2)+ d (x^3y^5)\ &= d (x^4y^2+x^3y^5). eea eeex$$
注: 2015 年 3 月 23 日上课的时候讲积分因子这一小节, 这是举的第二个例子, 可惜了, 不能完完全全按照书上的方法求解. 就此写出, 以为(读第四声)来者. 本 ``小文'' 由自丁同仁李承志《常微分方程教程(第三版)》第 49 页, 及王高雄等《常微分方程(第三版)》第 61 页习题 2(11).