试题有 6 个大题, 选作 4 题即可, 下面回忆的是其中的 4 题.
1. ($25'$) (1). 试证: $$ex x,y>0, x eq y a (x+y)ln frac{x+y}{2}<xln x+yln y. eex$$ (2). 试证: $$ex 0<e-sex{1+frac{1}{n}}^n<frac{3}{n},quad n=1,2,cdots. eex$$ (3). 试证曲面 $sqrt{x}+sqrt{y}+sqrt{z}=sqrt{a} (a>0)$ 上任一点的切平面在坐标轴上的截距之和为常数.
2. ($25'$) (1). 设 $al_1,cdots,al_minbR^n (mleq n)$. 试证: $sed{al_1,cdots,al_m}$ 线性无关等价于$$ex sed{al_1,al_1+al_2,cdots,al_1+al_2+cdots+al_m} eex$$ 线性无关. (2). 设 $A$ 为 $n$ 阶可逆方阵, $al,eta$ 均为 $n$ 维列向量, 试证: $$ex |A+aleta^T|=|A|(1+eta^TA^{-1}al). eex$$
3. ($25'$) 设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵, $omega>0$, $b$ 为常数, 试证迭代格式 (大概如此) $$ex x^{(k+1)}=x^{(k)}-omega sex{Acdot frac{x^{(k+1)}-x^{(k)}}{2}-b} eex$$ 对 $forall x^{(0)}$ 在解方程 $Ax=b$ 是均收敛.
4. ($25'$) 设 $$ex f(x)=sedd{a{ll} 1+x,&-1leq x<0,\ 1-x,&0leq x<1,\ 0,&|x|>1. ea} eex$$ (1). 试求 $hat f(xi)$, 其中 $$ex hat f(xi)=int_{bR} f(x)e^{-ixxi} d x. eex$$ (2). 设 $$ex f(x)=sum_n c(n)e^{-inx}, eex$$ 试求 $c(n)$. (3). 设 $$ex H(xi)=frac{1}{2}sum_n c(n) e^{-inxi}, eex$$ 试证: $$ex H(xi)+H(xi+pi)=1. eex$$