1. ($12'$) 求 $L^p(bR)$, $1leq p<infty$; $C[0,1]$; $C_0(bR)$ 的共轭空间, 其中 $C_0(bR)$ 表示在无穷远处的极限为 $0$ 的函数, 且对 $fin C_0(bR)$, $$ex sen{f}=max_{xinbR} |f(x)|. eex$$ 并说明 $L^p(bR)$, $C[0,1]$, $C_0(bR)$ 哪些是可分的, 哪些是自反的? (不用证明)
2. ($13'$) 设 $scrH$ 是 Hilbert 空间, $AinscrL(scrH)$, 且存在 $m>0$ 使得 $$ex |sef{Ax,x}|geq msen{x}^2,quad forall xinscrH. eex$$ 试证: $exists A^{-1}inscrL(scrH)$.
3. ($20'$) 设 $sed{mu_n}$ 为有界数列, $scrX$ 为 Hilbert 空间, $sed{e_n}$ 为 $scrX$ 上的标准正交基, $T$ 为 $scrX$ 上的线性算子, 且 $$ex forall sed{c_n}: vsm{n}|c_n|^2<infty, Tsex{vsm{n}c_ne_n}=vsm{n}mu_nc_ne_n. eex$$
(1). 试证: $T$ 有界, 并求 $sen{T}$.
(2). $T$ 位紧算子 $dps{lra vlm{n}mu_n=0}$.
4. ($20'$) 设 $scrX$ 为 Banach 空间, $f_n,f_0in X$, 且 $$ex vlm{n}sen{f_n}=sen{f}. eex$$ 试证: $sed{f_n}$ 强收敛于 $f$.
5. ($20'$) 设 $$ex int_bR f_n(x) d x=1,quadforall n; eex$$ $$ex vlm{n}int_{|t|>sigma}f_n(t) d t=0,quad forall sigma>0. eex$$ 试证: $$ex f_n o delta,mbox{ in }mathcal{D}'(bR). eex$$
6. ($15'$) 设 $scrX$ 是赋范线性空间, 求证: $scrX$ 是 Banach 空间的充要条件是 $$ex sed{x_n}subset X: vsm{n}sen{x_n}<infty a vsm{n}x_nmbox{ 收敛}. eex$$