设 $a_n o a$, 试证: $$ex vlm{n}frac{a_1+2a_2+cdots+na_n}{1+2+cdots+n}=a. eex$$
证明: (1). 用 $a_n-a$ 代替 $a_n$ 而不妨设 $a=0$. (2). 设 $a_n o 0$, 则 $$ex forall ve>0, exists N_1,st n>N_1 a |a_n|<frac{ve}{2}. eex$$ 对上述 $N_1$, 由 $dps{vlm{n}frac{a_1+2a_2+cdots+N_1a_{N_1}}{1+2+cdots+n}=0}$ 知 $exists N>N_1,st ngeq N$, $$eex ea &quadfrac{|a_1+2a_2+cdots+N_1a_{N_1}}{1+2+cdots+n}<frac{ve}{2}\ & a sev{frac{a_1+2a_2+cdots+na_n}{1+2+cdots+n}} leq frac{|a_1+2a_2+cdots+N_1a_{N_1}|}{1+2+cdots+n} +frac{|(N_1+1)a_{N_1+1}+cdots+na_n|}{1+2+cdots+n}\ &quad<frac{ve}{2}+frac{(N_1+1)+cdots+n}{1+2+cdots+n}cdot frac{ve}{2}<ve. eea eeex$$