设 $$ex t= an frac{x}{2}, eex$$ 则 $$ex cos x=frac{1-t^2}{1+t^2},quad sin x=frac{2t}{1+t^2}, eex$$ 经过化简有 $$ex (cos x+2)(sin x+1)=frac{(t+1)^2(t^2+3)}{(t^2+1)^2}equiv f(t). eex$$ 求导有 $$ex f'(t)=-frac{2(t+1)(t^3+t^2+5t-3)}{(t^2+1)^3}. eex$$ 记 $$ex g(t)=t^3+t^2+5t-3, eex$$ 则 $$ex g'(t)=3t^2+2t+5=3sex{t+frac{1}{3}}^2+frac{14}{3}>0. eex$$ 因此, $g(t)$ 在 $bR$ 上仅有一个实根, 由三次方程求根公式可求得该根, 设为 $t_0$, 则由 $f''(t_0)<0$ 知 $f$ 在 $t_0$ 处取得最大值 $$ex f(t_0)=2+frac{83}{4sqrt[3]{4644+183sqrt{183}}}+frac{sqrt[3]{4644+183sqrt{183}}}{12}. eex$$