设 $k_0>0$, $phi:[k_0,infty) o[0,infty)$ 是有界递减函数, 并且 $$ex phi(k)leq frac{A}{(k-h)^al}phi(h)^eta,quad k>h>k_0, eex$$ 其中 $A,al>0$, $0<eta<1$. 试证: $$ex phi(k)leq frac{C_*}{k^mu},quad k>2k_0, eex$$ 其中 $$ex mu=frac{al}{1-eta},quad C_*=2^{mu+frac{mu}{1-eta}}A^frac{1}{1-eta}. eex$$
证明: 设 $$ex psi(h)=A^{-frac{1}{1-eta}} phi(h), eex$$ 则 $$ex psi(k)leqfrac{1}{(k-h)^al} psi(h)^eta,quad k>h>k_0. eex$$ 对 $k_0<h<k$, 定义序列 $$eex ea psi(t_0)&leq frac{1}{(t_0-t_1)^al} psi(t_1)^eta\ &leq frac{1}{(t_0-t_1)^al}frac{1}{(t_1-t_2)^{al eta}} psi(t_2)^{eta^2}\ &leq cdots\ &leq prod_{j=1}^n (t_{j-1}-t_j)^{-al eta^{j-1}} psi(t_n)^{eta^n}. eea eeex$$ 注意到 $$ex prod_{j=1}^n (t_{j-1}-t_j)^{-al eta^{j-1}} =(k-h)^{-frac{al}{1-eta}(1-eta^n)} 2^{alsez{frac{1-eta^n}{(1-eta)^n}-frac{neta^n}{1-eta}}}, eex$$ 我们知取 $k>2k_0$, $h=k/2$ 后 $$ex psi(k)leq sex{frac{k}{2}}^{-frac{al}{1-eta}(1-eta^n)} 2^{alsez{frac{1-eta^n}{(1-eta)^n}-frac{neta^n}{1-eta}}} psi(t_0)^{eta^n}. eex$$ 令 $n oinfty$, 有 $$ex psi(k)leq k^{-mu}2^{mu+frac{mu}{1-eta}},quad phi(k)leq frac{2^{mu+frac{mu}{1-eta}}A^frac{1}{1-eta}}{k^mu}. eex$$